TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 83

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

$\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{n^{\frac{3}{2}}+5n}$

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Hilfreiches

Konvergenz von Reihen

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

• Ist $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ konvergent, dann gilt $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$, aber nicht umgekehrt.   (Satz 4.35)
• $\sum a_n$ heißt absolut konvergent, wenn $\sum \left|a_n\right|$ konvergent ist.   (Definition 4.43)

"absolut konvergent" $\left\{\begin{array}{c}\Rightarrow \\ \underset{i.A.}{\nLeftarrow }\end{array}\right\}$ "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.   (Satz 4.44)

Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe $\sum a_n$, d.h. $\mathrm{sgn}(a_n)=(-1{)}^n$, und $\left|a_n\right|$ monoton fallend und konvergent nach $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$ gilt:

$\sum a_n$ ist konvergent.   (Satz 4.41)

Majorantenkriterium

Wenn $\sum b_n$ konvergent und $\left|a_n\right|\le b_n$ für fast alle $n$, dann ist $\sum a_n$ absolut konvergent.   (Satz 4.47)

Lösungsvorschlag

Aufgrund von $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{(-1{)}^n}{n^{\frac{3}{2}}+5n}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}+5n}=0$ ist die Reihe konvergent.

Aufgrund von $\sum _{n\ge 0}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}+5n}<\sum _{n\ge 0}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$, wobei Letzteres die konvergente hyperharmonische Reihe ($\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^{\alpha }}$) ist, ist die Reihe absolut konvergent.

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