TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 83

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz.
$\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{n^{\frac {3}{2}}+5n}}$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konvergenz von Reihen

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

Ist $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ konvergent, dann gilt $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ , aber nicht umgekehrt. (Satz 4.35)
$\sum a_{n}$ heißt absolut konvergent, wenn $\sum \left|a_{n}\right|$ konvergent ist. (Definition 4.43)

"absolut konvergent" ${\begin{Bmatrix}\Rightarrow \\{\underset {i.A.}{\nLeftarrow }}\end{Bmatrix}}$ "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz. (Satz 4.44)
Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe $\sum a_{n}$ , d.h. $\operatorname {sgn}(a_{n})\ =\ (-1)^{n}$ , und $\left|a_{n}\right|$ monoton fallend und konvergent nach $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ gilt:

$\sum a_{n}$ ist konvergent. (Satz 4.41)

Majorantenkriterium

Wenn $\sum b_{n}$ konvergent und $\left|a_{n}\right|\leq b_{n}$ für fast alle $n$ , dann ist $\sum a_{n}$ absolut konvergent. (Satz 4.47)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aufgrund von $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n^{\frac {3}{2}}+5n}}\right|=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{\frac {3}{2}}+5n}}=0$ ist die Reihe konvergent.

Aufgrund von $\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{n^{\frac {3}{2}}+5n}}<\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{n^{\frac {3}{2}}}}$ , wobei Letzteres die konvergente hyperharmonische Reihe ( $\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{\alpha }}}$ ) ist, ist die Reihe absolut konvergent.