TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 5

Man finde alle Häufungspunkte der Folge $a_n=\sin \frac{n\pi }{2}+(-1{)}^{n(n+1)/2}(n\ge 0)$.

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Lösungsvorschlag

Zu Anfang berechnen wir die ersten paar Folgenglieder von $a_n$, um Vermutungen für Häufungspunkte aufzustellen.

$a_0=0+1=1$

$a_1=1+(-1)=0$

$a_2=0+(-1)=-1$

$a_3=(-1)+1=0$

$a_4=a_0$

$a_5=a_1$

$\mathrm{...}$

Aus der Berechnung dieser Folgeglieder nehmen wir an, dass unsere Häufungspunkte $\{0,-1,1\}$ sind. Es gilt jetzt nur noch zu zeigen, dass die Folge keine anderen Zahlen annehmen kann.

Nun kann die Folge $a_n$ als $a_n=b_n+c_n$ angeschrieben werden, wobei $b_n=\sin \frac{n\pi }{2}$ und $c_n=(-1{)}^{n(n+1)/2}$.

Betrachten wir zunächst $b_n$. Aus der Tatsache, dass es sich bei $b_n$ um eine Sinusfunktion, und somit eine periodische Funktion handelt, kann man leicht zeigen, dass diese für alle $n$ sich wie angenommen periodisch verhält. Dafür betrachten wir jedes erste, zweite, dritte und vierte Folgeglied.

$b_{4n}=\sin \frac{4n\pi }{2}=\sin 2n\pi =0$

$b_{4n+1}=\sin \frac{(4n+1)\pi }{2}=\sin (2n\pi +\frac{\pi }{2})=1$

$b_{4n+2}=\sin \frac{(4n+2)\pi }{2}=\sin (2n\pi +\pi )=0$

$b_{4n+3}=\sin \frac{(4n+3)\pi }{2}=\sin (2n\pi +\frac{3\pi }{2})=-1$

Somit haben wir gezeigt, dass $b_n$ sich für alle $n\in \mathbb{N}$ periodisch verhält. Nun dasselbe für $c_n$, jedoch beachten wir hier nur den Exponenten. Ist dieser gerade ), so ist $c_n=1$, ansonsten ist $c_n=-1$. Andere Zahlen können durch Potenzieren von $(-1)$ nicht angenommen werden. Wir bezeichnen diese Folge als $exp{c}_n$. Wie beim der vorherigen Folge nehmen wir an, dass sich $c_n$ periodisch mit Periodenlänge 4 verhält.

$exp{c}_{4n}=4n(4n+1)/2=8n^2+2n$

$exp{c}_{4n+1}=(4n+1)(4n+2)/2=8n^2+6n+1$

$exp{c}_{4n+2}=(4n+2)(4n+3)/2=8n^2+10n+3$

$exp{c}_{4n+3}=(4n+3)(4n+4)/2=8n^2+14n+6$

Nachdem wir alle Variablen mit geraden Koeffizienten ignorieren können, müssen wir hier nur die alleinstehende Zahl betrachten. Diese ist bei $4n$ und $4n+3$ gerade, während sie bei $4n+1$ und $4n+2$ ungerade ist. Daher haben wir die Periodizität mit Periodenlänge 4 bewiesen und können nun unsere angenommen Häufungspunkte verifizieren.

Somit sind die Häufungspunkte von $a_n$ $\{0,-1,1\}$.

Hilfreiches von Har203

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 5.

Beschränktheit

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

• $⟨x_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt nach $\left\{\begin{array}{c}\text{oben}\\ \text{unten}\end{array}\right\}$ beschränkt $⟺\mathrm{\exists }a\in ℝ\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:\{\begin{array}{cc}{x}_n\le a& \text{obere Schranke}\\ x_n\ge a& \text{untere Schranke}\end{array}$

• $⟨x_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt beschränkt, wenn diese sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt ist.

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$, falls in jeder $ϵ$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h., falls

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>N(ϵ):|a_n-a|<ϵ$   (Definition 4.4)

Konvergenz von Folgen

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

   In $ℝ$ (aber z.B. nicht in $\mathbb{Q}$!) gilt:

   • $a_n\nearrow :\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\text{sup}(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$
   • $a_n\searrow :\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\text{inf}(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$
3. $lim{x}_n=x,lim{y}_n=y⟹\{\begin{array}{c}lim(x_n\pm y_n)=x\pm y\\ lim(x_n\cdot y_n)=x\cdot y\\ lim(\frac{x_n}{y_n})=\frac{x}{y}{y}_n,y\ne 0\end{array}$

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang (IA)
2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 08:07, 7. Mär. 2026 (CET)

Man finde alle Häufungspunkte der Folge $a_n=\sin \frac{n\pi }{2}+(-1{)}^{n(n+1)/2}(n\ge 0)$.

Zuerst zerlegen wir diese Folge in ihre Bestandteile: $a_n=\sin (\frac{n\pi }{2})+(-1{)}^{n(n+1)/2}=g(n)+h(n)(n\ge 0)$

• $g(n)=\sin (\frac{n\pi }{2})(n\ge 0):$

$\sin (\frac{n\pi }{2})$ nimmt der Reihe nach, beginnend bei $n=0$, folgende Werte an: $\sin (0)=0,sin(\pi /2)=1,\sin (\pi )=0,\sin (3\pi /2)=-1$. Die periodische Wiederholung dieser Werte beginnt bei $n=4$. D.h. Diese Funktion hat die Periode $4$

• $h(n)=(-1{)}^{n(n+1)/2}(n\ge 0)$ : Diese periodische Funktion nimmt die beiden aufeinanderfolgenden Zahlen $n\cdot (n+1)$ her und teilt diese durch den Faktor $2$. Wir schauen uns die ersten Werte an:

$\begin{array}{ccccccccccccccc}n=& n\cdot (n+1)& (-1{)}^x& & n=& n\cdot (n+1)& (-1{)}^x& & n=& n\cdot (n+1)& (-1{)}^x& & n=& n\cdot (n+1)& (-1{)}^x\\ 0& 0& 1& & 1& 2& -1& & 2& 6& -1& & 3& 12& 1\\ 4& 20& 1& & 5& 30& -1& & 6& 42& -1& & 7& 56& 1\\ 8& 72& 1& & 9& 90& -1& & 10& 110& -1& & 11& 132& 1\\ 12& 156& 1& & 13& 182& -1& & 14& 210& -1& & 15& 240& 1\end{array}$

Beim $\sin (\frac{n\pi }{2})$ haben wir das genaue Verhalten der Funktion bereits gezeigt. Da wir auf dem Gebiet der Analysis arbeiten, müssen wir auch das Verhalten der Funktion $(-1{)}^{n(n+1)/2}$ mit $(n\ge 0)$ beweisen bzw. zeigen.

• $n\cdot (n+1)$ ist das Produkt der Zahl $n$ mit dessen Nachfolger. D.h., dass dieses Produkt immer gerade sein muss, da eine der beiden Zahlen gerade sein muss. Dadurch ist der Ausdruck $(n\cdot (n+1)/2)$ immer ein Element $\in {\mathbb{N}}_0$. Daraus folgt, dass $((-1{)}^{n\cdot (n+1)/2})$ immer nur die beiden Werte $\pm 1$ annehmen kann. Jetzt müssen wir noch klären, wann die Werte $(-1)$ bzw. $(+1)$ resultieren.

• Der Wert $(+1)$ wird erreicht, wenn $n\cdot (n+1)/2$ eine gerade Zahl ist, also, wenn $2\mid n\cdot (n+1)/2$. Dieser Fall tritt ein, wenn eine der beiden Zahlen $n$ bzw. $(n+1)$ durch vier teilbar ist$:4\mid n\cdot (n+1)$. Sind beide Zahlen $n$ und $(n+1)$ nicht durch $4$ teilbar, dann ist die Funktion $n\cdot (n+1)/2$ ungerade. Die Periode der Funktion ist damit $4$.

• Da sozusagen ein Fenster der Größe zwei über den Zahlenstrahl mit zwei nebeneinanderliegenden Zahlen $n$ und $(n+1)$ von $n=0$ beginnend immer um $1$ höher gezogen wird, sind immer zwei Zahlen hintereinander durch $4$ teilbar bzw. nicht teilbar:

• Zahlenstrahl für $(n,(n+1)):$ $(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),\dots$.

Z.B. bei $(3,4),(4,5)$ tritt die Zahl $4$ zweimal hintereinander auf. Damit sind für $n=3$ und für $n=4$ die Endwerte gerade und $(-1{)}^{gerade}=1$. Anderenfalls z.B. bei $n=5:(5,6),n=6:(6,7)$ ist der Endwerte der Funktion ungerade und $(-1{)}^{ungerade}=-1$.

Führen wir diese beiden Ergebnisse der Funktion zusammen, ergeben sich folgende Gegebenheiten:

$\begin{array}{ccccccccccccccc}n=& \sin (.)& (-1{)}^x& & n=& \sin (.)& (-1{)}^x& & n=& \sin (.)& (-1{)}^x& & n=& \sin (.)& (-1{)}^x\\ 0& 0& 1& & 1& 1& -1& & 2& 0& -1& & 3& -1& 1\\ 4& 0& 1& & 5& 1& -1& & 6& 0& -1& & 7& -1& 1\\ 8& 0& 1& & 9& 1& -1& & 10& 0& -1& & 11& -1& 1\\ 12& 0& 1& & 13& 1& -1& & 14& 0& -1& & 15& -1& 1\end{array}$

Da beide Funktionen die gleiche Periode von $4$ haben, ergibt sich:

$\begin{array}{ccccccccccc}n=& a_n=& & n=& a_n=& & n=& a_n=& & n=& a_n=\\ 0& 1& & 1& 0& & 2& -1& & 3& 0\\ 4& 1& & 5& 0& & 6& -1& & 7& 0\\ 8& 1& & 9& 0& & 10& -1& & 11& 0\\ 12& 1& & 13& 0& & 14& -1& & 15& 0\end{array}$

Gesamtergebnis: Die Häufungspunkt dieser Folge $⟨a_n⟩$ sind$:\{-1,0,+1\}$. $◼$

Links

Wikipedia:

• Folge
• Monotone Zahlenfolge
• Häufungspunkt
• Grenzwert
• Infimum und Supremum
• Vollständige Induktion

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