TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 5

Man finde alle Häufungspunkte der Folge $a_{n}=\sin {\frac {n\pi }{2}}+(-1)^{n(n+1)/2}(n\geq 0)$.

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Lösungsvorschlag

Zu Anfang berechnen wir die ersten paar Folgenglieder von $a_{n}$, um Vermutungen für Häufungspunkte aufzustellen.

$a_{0}=0+1=1$

$a_{1}=1+(-1)=0$

$a_{2}=0+(-1)=-1$

$a_{3}=(-1)+1=0$

$a_{4}=a_{0}$

$a_{5}=a_{1}$

$...$

Aus der Berechnung dieser Folgeglieder nehmen wir an, dass unsere Häufungspunkte $\{0,-1,1\}$ sind. Es gilt jetzt nur noch zu zeigen, dass die Folge keine anderen Zahlen annehmen kann.

Nun kann die Folge $a_{n}$ als $a_{n}=b_{n}+c_{n}$ angeschrieben werden, wobei $b_{n}=\sin {\frac {n\pi }{2}}$ und $c_{n}=(-1)^{n(n+1)/2}$.

Betrachten wir zunächst $b_{n}$. Aus der Tatsache, dass es sich bei $b_{n}$ um eine Sinusfunktion, und somit eine periodische Funktion handelt, kann man leicht zeigen, dass diese für alle $n$ sich wie angenommen periodisch verhält. Dafür betrachten wir jedes erste, zweite, dritte und vierte Folgeglied.

$b_{4n}=\sin {\frac {4n\pi }{2}}=\sin 2n\pi =0$

$b_{4n+1}=\sin {\frac {(4n+1)\pi }{2}}=\sin(2n\pi +{\frac {\pi }{2}})=1$

$b_{4n+2}=\sin {\frac {(4n+2)\pi }{2}}=\sin(2n\pi +\pi )=0$

$b_{4n+3}=\sin {\frac {(4n+3)\pi }{2}}=\sin(2n\pi +{\frac {3\pi }{2}})=-1$

Somit haben wir gezeigt, dass $b_{n}$ sich für alle $n\in \mathbb {N}$ periodisch verhält. Nun dasselbe für $c_{n}$, jedoch beachten wir hier nur den Exponenten. Ist dieser gerade ), so ist $c_{n}=1$, ansonsten ist $c_{n}=-1$. Andere Zahlen können durch Potenzieren von $(-1)$ nicht angenommen werden. Wir bezeichnen diese Folge als $expc_{n}$. Wie beim der vorherigen Folge nehmen wir an, dass sich $c_{n}$ periodisch mit Periodenlänge 4 verhält.

$expc_{4n}=4n(4n+1)/2=8n^{2}+2n$

$expc_{4n+1}=(4n+1)(4n+2)/2=8n^{2}+6n+1$

$expc_{4n+2}=(4n+2)(4n+3)/2=8n^{2}+10n+3$

$expc_{4n+3}=(4n+3)(4n+4)/2=8n^{2}+14n+6$

Nachdem wir alle Variablen mit geraden Koeffizienten ignorieren können, müssen wir hier nur die alleinstehende Zahl betrachten. Diese ist bei $4n$ und $4n+3$ gerade, während sie bei $4n+1$ und $4n+2$ ungerade ist. Daher haben wir die Periodizität mit Periodenlänge 4 bewiesen und können nun unsere angenommen Häufungspunkte verifizieren.

Somit sind die Häufungspunkte von $a_{n}$ $\{0,-1,1\}$.

Hilfreiches von Har203

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 5.

Beschränktheit

Beschränktheit

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt nach ${\begin{Bmatrix}{\text{oben}}\\{\text{unten}}\end{Bmatrix}}$ beschränkt $\Longleftrightarrow \exists a\in \mathbb {R} \quad \forall n\in \mathbb {N} :{\begin{cases}x_{n}\leq a&{\text{obere Schranke}}\\x_{n}\geq a&{\text{untere Schranke}}\end{cases}}$

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt beschränkt, wenn sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt.

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \epsilon >0\quad \exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$   (Definition 4.4)

Konvergenz von Folgen

Konvergenz einer Folge

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

   In $\mathbb {R}$ (aber z.B. nicht in $\mathbb {Q}$!) gilt:

   • $a_{n}\nearrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{sup}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
   • $a_{n}\searrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{inf}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
3. $\lim x_{n}=x,\;\lim y_{n}=y\Longrightarrow {\begin{cases}\lim(x_{n}\pm y_{n})=x\pm y\\\lim(x_{n}\cdot y_{n})=x\cdot y\\\lim({\frac {x_{n}}{y_{n}}})={\frac {x}{y}}\qquad y_{n},y\neq 0\end{cases}}$

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang (IA)
2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 08:07, 7. Mär. 2026 (CET)

Man finde alle Häufungspunkte der Folge $a_{n}=\sin {\frac {n\pi }{2}}+(-1)^{n(n+1)/2}(n\geq 0)$.

Zuerst zerlegen wir diese Folge in ihre Bestandteile: $a_{n}=\sin({\frac {n\pi }{2}})+(-1)^{n(n+1)/2}=g(n)+h(n)(n\geq 0)$

• $g(n)=\sin({\frac {n\pi }{2}})(n\geq 0)\colon$

$\sin({\frac {n\pi }{2}})$ nimmt der Reihe nach, beginnend bei $n=0$, folgende Werte an: $\sin(0)=0,\,sin(\pi /2)=1,\,\sin(\pi )=0,\,\sin(3\pi /2)=-1$. Die periodische Wiederholung dieser Werte beginnt bei $n=4$. D.h. Diese Funktion hat die Periode $4$

• $h(n)=(-1)^{n(n+1)/2}(n\geq 0)$ : Diese periodische Funktion nimmt die beiden aufeinanderfolgenden Zahlen $n\cdot (n+1)$ her und teilt diese durch den Faktor $2$. Wir schauen uns die ersten Werte an:

${\begin{array}{ccc|c|ccc|c|ccc|c|ccc}\hline n=&n\cdot (n+1)&(-1)^{x}&\,&n=&n\cdot (n+1)&(-1)^{x}&\,&n=&n\cdot (n+1)&(-1)^{x}&\,&n=&n\cdot (n+1)&(-1)^{x}\\\hline 0&0&1&\,&1&2&-1&\,&2&6&-1&\,&3&12&1\\\hline 4&20&1&\,&5&30&-1&\,&6&42&-1&\,&7&56&1\\\hline 8&72&1&\,&9&90&-1&\,&10&110&-1&\,&11&132&1\\\hline 12&156&1&\,&13&182&-1&\,&14&210&-1&\,&15&240&1\\\hline \end{array}}$

Beim $\sin({\frac {n\pi }{2}})$ haben wir das genaue Verhalten der Funktion bereits gezeigt. Da wir auf dem Gebiet der Analysis arbeiten, müssen wir auch das Verhalten der Funktion $(-1)^{n(n+1)/2}$ mit $(n\geq 0)$ beweisen bzw. zeigen.

• $n\cdot (n+1)$ ist das Produkt der Zahl $n$ mit dessen Nachfolger. D.h., dass dieses Produkt immer gerade sein muss, da eine der beiden Zahlen gerade sein muss. Dadurch ist der Ausdruck $(n\cdot (n+1)/2)$ immer ein Element $\in \mathbb {N} _{0}$. Daraus folgt, dass $((-1)^{n\cdot (n+1)/2})$ immer nur die beiden Werte $\pm 1$ annehmen kann. Jetzt müssen wir noch klären, wann die Werte $(-1)$ bzw. $(+1)$ resultieren.

• Der Wert $(+1)$ wird erreicht, wenn $n\cdot (n+1)/2$ eine gerade Zahl ist, also, wenn $2\mid {n\cdot (n+1)/2}$. Dieser Fall tritt ein, wenn eine der beiden Zahlen $n$ bzw. $(n+1)$ durch vier teilbar ist$\colon \,4\mid {n\cdot (n+1)}$. Sind beide Zahlen $n$ und $(n+1)$ nicht durch $4$ teilbar, dann ist die Funktion $n\cdot (n+1)/2$ ungerade. Die Periode der Funktion ist damit $4$.

• Da sozusagen ein Fenster der Größe zwei über den Zahlenstrahl mit zwei nebeneinanderliegenden Zahlen $n$ und $(n+1)$ von $n=0$ beginnend immer um $1$ höher gezogen wird, sind immer zwei Zahlen hintereinander durch $4$ teilbar bzw. nicht teilbar:

• Zahlenstrahl für $(n,(n+1))\colon \,$ $(0,1),\,(1,2),\,(2,3),\,(3,4),\,(4,5),\,(5,6),\ldots$.

Z.B. bei $(3,4),\,(4,5)$ tritt die Zahl $4$ zweimal hintereinander auf. Damit sind für $n=3$ und für $n=4$ die Endwerte gerade und $(-1)^{gerade}=1$. Anderenfalls z.B. bei $n=5\colon \,(5,6),\,n=6\colon \,(6,7)$ ist der Endwerte der Funktion ungerade und $(-1)^{ungerade}=-1$.

Führen wir diese beiden Ergebnisse der Funktion zusammen, ergeben sich folgende Gegebenheiten:

${\begin{array}{ccc|c|ccc|c|ccc|c|ccc}\hline n=&\sin(.)&(-1)^{x}&\,&n=&\sin(.)&(-1)^{x}&\,&n=&\sin(.)&(-1)^{x}&\,&n=&\sin(.)&(-1)^{x}\\\hline 0&0&1&\,&1&1&-1&\,&2&0&-1&\,&3&-1&1\\\hline 4&0&1&\,&5&1&-1&\,&6&0&-1&\,&7&-1&1\\\hline 8&0&1&\,&9&1&-1&\,&10&0&-1&\,&11&-1&1\\\hline 12&0&1&\,&13&1&-1&\,&14&0&-1&\,&15&-1&1\\\hline \end{array}}$

Da beide Funktionen die gleiche Periode von $4$ haben, ergibt sich:

${\begin{array}{cc|c|cc|c|cc|c|cc }\hline n=&a_{n}=&\,&n=&a_{n}=&\,&n=&a_{n}=&\,&n=&a_{n}=\\\hline 0&1&\,&1&0&\,&2&-1&\,&3&0\\\hline 4&1&\,&5&0&\,&6&-1&\,&7&0\\\hline 8&1&\,&9&0&\,&10&-1&\,&11&0\\\hline 12&1&\,&13&0&\,&14&-1&\,&15&0\\\hline \end{array}}$

Gesamtergebnis: Die Häufungspunkt dieser Folge $\langle a_{n}\rangle$ sind$\colon \,\{-1,\,0,\,+1\}$. $\qquad \quad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Folge
• Monotone Zahlenfolge
• Häufungspunkt
• Grenzwert
• Infimum und Supremum
• Vollständige Induktion

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