Man finde alle Häufungspunkte der Folge
.
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
Zu Anfang berechnen wir die ersten paar Folgenglieder von
, um Vermutungen für Häufungspunkte aufzustellen.
Aus der Berechnung dieser Folgeglieder nehmen wir an, dass unsere Häufungspunkte
sind. Es gilt jetzt nur noch zu zeigen, dass die Folge keine anderen Zahlen annehmen kann.
Nun kann die Folge
als
angeschrieben werden, wobei
und
.
Betrachten wir zunächst
. Aus der Tatsache, dass es sich bei
um eine Sinusfunktion, und somit eine periodische Funktion handelt, kann man leicht zeigen, dass diese für alle
sich wie angenommen periodisch verhält. Dafür betrachten wir jedes erste, zweite, dritte und vierte Folgeglied.
Somit haben wir gezeigt, dass
sich für alle
periodisch verhält. Nun dasselbe für
, jedoch beachten wir hier nur den Exponenten. Ist dieser gerade ), so ist
, ansonsten ist
. Andere Zahlen können durch Potenzieren von
nicht angenommen werden. Wir bezeichnen diese Folge als
. Wie beim der vorherigen Folge nehmen wir an, dass sich
periodisch mit Periodenlänge 4 verhält.
Nachdem wir alle Variablen mit geraden Koeffizienten ignorieren können, müssen wir hier nur die alleinstehende Zahl betrachten. Diese ist bei
und
gerade, während sie bei
und
ungerade ist. Daher haben wir die Periodizität mit Periodenlänge 4 bewiesen und können nun unsere angenommen Häufungspunkte verifizieren.
Somit sind die Häufungspunkte von
.