TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 59

Man gebe zwei reelle Nullfolgen $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}},(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ an, die

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=0\text{und}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n^2}=+\mathrm{\infty }$

erfüllen.

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oder

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{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Vorschlag von Zonarius

Ziel ist es, Nullfolgen zu finden, wo $a_n<b_n$ aber $a_n>b_n^2$.
Meine Lösung:
$a_n=\frac{1}{n^2}$
$b_n=\frac{1}{n\sqrt{n}}$

Daraus folgt:
$b_n^2=\frac{1}{n^3}$

Und die Nullfolgen erfüllen beide Bedingungen:
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n\sqrt{n}}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n\sqrt{n}}{n^2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{n}}{n}=0$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^3}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^3}{n^2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=+\mathrm{\infty }$

Eine andere Möglichkeit wäre z.B. $a_n=\frac{1}{n^3},b_n=\frac{1}{n^2}$

Hilfreiches von Har203

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 59.

Konvergenz von Folgen

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

   In $ℝ$ (aber z.B. nicht in $\mathbb{Q}$!) gilt:

   • $a_n\nearrow :\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\text{sup}(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$
   • $a_n\searrow :\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\text{inf}(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$
3. $lim{x}_n=x,lim{y}_n=y⟹\{\begin{array}{c}lim(x_n\pm y_n)=x\pm y\\ lim(x_n\cdot y_n)=x\cdot y\\ lim(\frac{x_n}{y_n})=\frac{x}{y}{y}_n,y\ne 0\end{array}$

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$, falls in jeder $ϵ$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h., falls

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>N(ϵ):|a_n-a|<ϵ$   (Definition 4.4)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 23:19, 17. Mär. 2026 (CET)

Man gebe zwei Nullfolgen $⟨a_n{⟩}_{(n\in \mathbb{N})}$, $⟨b_n{⟩}_{(n\in \mathbb{N})}$ an, die

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=0\wedge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n^2}=+\mathrm{\infty }$ erfüllen.

Folge

Folgende Eigenschaften müssen die beiden Folgen erfüllen:

• $⟨a_n{⟩}_{(n\in \mathbb{N})}$ ist eine Nullfolge und konvergiert schneller als jene der Nullfolge $⟨b_n{⟩}_{(n\in \mathbb{N})}$.
• $⟨a_n{⟩}_{(n\in \mathbb{N})}$ ist eine Nullfolge und konvertiert langsamer als jene der Nullfolge $⟨c_n{⟩}_{(n\in \mathbb{N})}$ mit $c_n=b_n^2$.

• Anmerkung: In der Angabe werden beide Folgen mit $n\in \mathbb{N}$, also inklusive $n=0:a_0,b_0$ vorgegeben. Wir verwenden daher überall statt $n$ die Werte $n+1$.

Wir wählen für die Folge $⟨a_n{⟩}_{(n\in \mathbb{N})}$ die Folgenglieder $a_n=\frac{1}{n+1}$ und für die Folge $⟨b_n{⟩}_{(n\in \mathbb{N})}$ die Folgenglieder $b_n=\frac{1}{(n+1{)}^{3/4}}$.

• $a_n=\frac{1}{n+1}$ ist eine Nullfolge$:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$.
• $b_n=\frac{1}{(n+1{)}^{3/4}}$ ist ebenfalls eine Nullfolge$:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=0$.

Es fällt $a_n=\frac{1}{n+1}$ schneller gegen $0$, als $b_n=\frac{1}{(n+1{)}^{3/4}}$ gegen $0$ fällt. Umgekehrt fällt $a_n=\frac{1}{n+1}$ langsamer gegen $0$, als $b_n^2=\frac{1}{(n+1{)}^{3/2}}$ gegen $0$ fällt.

Nullfolge

$⟹\frac{a_n}{b_n}=\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{(n+1{)}^{3/4}}}=\frac{(n+1{)}^{3/4}}{n+1}=(n+1{)}^{3/4-1}=(n+1{)}^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{n+1}}$ mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt[4]{n+1}}=0$.

Divergent

$⟹\frac{a_n}{b_n^2}=\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{(n+1{)}^{3/2}}}=\frac{(n+1{)}^{3/2}}{n+1}=(n+1{)}^{3/2-1}=(n+1{)}^{1/2}=\sqrt[2]{n+1}$ mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[2]{n+1}=+\mathrm{\infty }$. $◼$

Links

Wikipedia:

• Folge
• Monotone Zahlenfolge
• Grenzwert

Ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 62