TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 59

Man gebe zwei reelle Nullfolgen $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} },\ (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }\$ an, die

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0\qquad {\text{und}}\qquad \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}^{2}}}=+\infty$

erfüllen.

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{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Vorschlag von Zonarius

Ziel ist es, Nullfolgen zu finden, wo $a_{n}<b_{n}$ aber $a_{n}>b_{n}^{2}$.
Meine Lösung:
$a_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$
$b_{n}={\frac {1}{n{\sqrt {n}}}}$

Daraus folgt:
$b_{n}^{2}={\frac {1}{n^{3}}}$

Und die Nullfolgen erfüllen beide Bedingungen:
$\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {1}{n^{2}}}{\frac {1}{n{\sqrt {n}}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n{\sqrt {n}}}{n^{2}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{n}}=0$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {1}{n^{2}}}{\frac {1}{n^{3}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{3}}{n^{2}}}=\lim _{n\to \infty }n=+\infty$

Eine andere Möglichkeit wäre z.B. $a_{n}={\frac {1}{n^{3}}},b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$

Hilfreiches von Har203

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 59.

Konvergenz von Folgen

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

   In $\mathbb {R}$ (aber z.B. nicht in $\mathbb {Q}$!) gilt:

   • $a_{n}\nearrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{sup}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
   • $a_{n}\searrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{inf}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
3. $\lim x_{n}=x,\;\lim y_{n}=y\Longrightarrow {\begin{cases}\lim(x_{n}\pm y_{n})=x\pm y\\\lim(x_{n}\cdot y_{n})=x\cdot y\\\lim({\frac {x_{n}}{y_{n}}})={\frac {x}{y}}\qquad y_{n},y\neq 0\end{cases}}$

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \,\epsilon >0\quad \exists \,N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall \,n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$   (Definition 4.4)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 23:19, 17. Mär. 2026 (CET)

Man gebe zwei Nullfolgen $\langle a_{n}\rangle _{(n\in \mathbb {N} )}$, $\langle b_{n}\rangle _{(n\in \mathbb {N} )}$ an, die

$\lim _{n\to \infty }\,{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0\qquad \land \qquad \lim _{n\to \infty }\,{\frac {a_{n}}{b_{n}^{2}}}=+\infty$ erfüllen.

Folge

Folgende Eigenschaften müssen die beiden Folgen erfüllen:

• $\langle a_{n}\rangle _{(n\in \mathbb {N} )}$ ist eine Nullfolge und konvergiert schneller als jene der Nullfolge $\langle b_{n}\rangle _{(n\in \mathbb {N} )}$.
• $\langle a_{n}\rangle _{(n\in \mathbb {N} )}$ ist eine Nullfolge und konvertiert langsamer als jene der Nullfolge $\langle c_{n}\rangle _{(n\in \mathbb {N} )}$ mit $c_{n}=b_{n}^{2}$.

• Anmerkung: In der Angabe werden beide Folgen mit $n\in \mathbb {N}$, also inklusive $n=0\colon \;a_{0},\,b_{0}$ vorgegeben. Wir verwenden daher überall statt $n$ die Werte $n+1$.

Wir wählen für die Folge $\langle a_{n}\rangle _{(n\in \mathbb {N} )}$ die Folgenglieder $a_{n}={\frac {1}{n+1}}$ und für die Folge $\langle b_{n}\rangle _{(n\in \mathbb {N} )}$ die Folgenglieder $b_{n}={\frac {1}{(n+1)^{3/4}}}$.

• $a_{n}={\frac {1}{n+1}}$ ist eine Nullfolge$\colon \;\lim _{n\to \infty }\,a_{n}=0$.
• $b_{n}={\frac {1}{(n+1)^{3/4}}}$ ist ebenfalls eine Nullfolge$\colon \;\lim _{n\to \infty }\,b_{n}=0$.

Es fällt $a_{n}={\frac {1}{n+1}}$ schneller gegen $0$, als $b_{n}={\frac {1}{(n+1)^{3/4}}}$ gegen $0$ fällt. Umgekehrt fällt $a_{n}={\frac {1}{n+1}}$ langsamer gegen $0$, als $b_{n}^{2}={\frac {1}{(n+1)^{3/2}}}$ gegen $0$ fällt.

Nullfolge

$\implies {\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\frac {1}{n+1}}{\frac {1}{(n+1)^{3/4}}}}={\frac {(n+1)^{3/4}}{n+1}}=(n+1)^{3/4-1}=(n+1)^{-1/4}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{n+1}}}$ mit $\lim _{n\to \infty }\,{\frac {1}{\sqrt[{4}]{n+1}}}=0$.

Divergent

$\implies {\frac {a_{n}}{b_{n}^{2}}}={\frac {\frac {1}{n+1}}{\frac {1}{(n+1)^{3/2}}}}={\frac {(n+1)^{3/2}}{n+1}}=(n+1)^{3/2-1}=(n+1)^{1/2}={\sqrt[{2}]{n+1}}$ mit $\lim _{n\to \infty }\,{\sqrt[{2}]{n+1}}=+\infty$. $\quad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Folge
• Monotone Zahlenfolge
• Grenzwert

Ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 62