TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 59

Man gebe zwei reelle Nullfolgen $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} },\ (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }\$ an, die

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0\qquad {\text{und}}\qquad \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}^{2}}}=+\infty$

erfüllen.

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Vorschlag von Zonarius

Ziel ist es, Nullfolgen zu finden, wo $a_{n}<b_{n}$ aber $a_{n}>b_{n}^{2}$.
Meine Lösung:
$a_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$
$b_{n}={\frac {1}{n{\sqrt {n}}}}$

Daraus folgt:
$b_{n}^{2}={\frac {1}{n^{3}}}$

Und die Nullfolgen erfüllen beide Bedingungen:
$\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {1}{n^{2}}}{\frac {1}{n{\sqrt {n}}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n{\sqrt {n}}}{n^{2}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{n}}=0$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {1}{n^{2}}}{\frac {1}{n^{3}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{3}}{n^{2}}}=\lim _{n\to \infty }n=+\infty$

Eine andere Möglichkeit wäre z.B. $a_{n}={\frac {1}{n^{3}}},b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$