TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 84

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n+2}}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Konvergenz einer Reihe[Bearbeiten]

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

  • Satz: Ist \sum_{n=0}^\infty a_n konvergent, dann gilt \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0, aber nicht umgekehrt.
  • \sum a_n heißt absolut konvergent, wenn \sum\left|a_n\right| konvergent.
"absolut konvergent" \begin{Bmatrix}\Rightarrow\\\underset{i.A.}{\nLeftarrow}\end{Bmatrix} "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.
Leibniz-Kriterium[Bearbeiten, WP, 4.41 Satz]

Für eine alternierende Reihe \sum a_n, d.h. \sgn(a_n) \ = \ (-1)^n, und \left|a_n\right| monoton fallend und konvergent nach \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0 gilt: \sum a_n ist konvergent.

Minorantenkriterium[Bearbeiten, WP, 4.48 Satz]

Wenn \sum b_n divergent und \left|a_n\right|\geq b_n\;\forall n, dann ist \sum a_n auch divergent.

Harmonische Reihe[Bearbeiten]

Definition der harmonischen Reihe:

\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}

Die harmonische Reihe ist streng monoton steigend und divergent.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Aufgrund von \lim_{n\to\infty}\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n+2}}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n+2}} = 0 ist die Reihe konvergent.

Aufgrund von \sum_{n\ge0} \frac{1}{\sqrt[3]{n+2}} > \sum_{n\ge1} \frac{1}{\sqrt[3]{n}} > \sum_{n\ge1} \frac{1}{n} = \infty ist die Reihe nur bedingt konvergent.

Frage: Gehören in der letzten Zeile nicht die beiden ersten Terme vertauscht?

Links[Bearbeiten]