TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS22/Beispiel 44

(schwierig) Zusammenhängende Räume

Eine Menge $A\subseteq X$ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement $X\setminus A$ offen ist.

Eine Menge heißt clopen (von "closed and open"), wenn sie offen und abgeschlossen ist. Gemäß Bsp. 43 sind 0 und $X$ clopen.

Der metrische Raum $X$ heißt "zusammenhängend", wenn $\mathrm{\varnothing }$ und $X$ die einzigen clopen Mengen sind.

Zeige:

(a) $X$ ist zusammenhängend gdw $X$ keine Partition in zwei offene Mengen zulässt (d.h. eine Darstellung $X=O_1\cup O_2$ mit $O_1$, $O_2$ offen und nichtleer, und $O_1\cap O_2=\mathrm{\varnothing }$).

(b) $ℝ$ ist zusammenhängend.

Hinweis: Sei $A\subseteq ℝ$ nichtleer, offen und abgeschlossen, wähle $a\in A$. Betrachte $X:=\{x<a:(x,a]\subseteq A\}$. Weil $A$ offen ist ist $X\ne \mathrm{\varnothing }$. Wir behaupten $X$ hat keine untere Schranke. Ansonsten hätte $X$ ein Infimum $x^{\prime }$ . Insbesondere $(x^{\prime },a]\subseteq A$ und $x^{\prime }\in ̸A$ (sonst gäbe es ein $x^{″}<x^{\prime }$ in $X$, weil $A$ offen ist). D.h. $x^{\prime }\in ℝ\setminus A$ (offen), Widerspruch.

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