TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS22/Beispiel 47

Offen und Abgeschlossen

Wir wissen (vgl. 43): Die Vereinigung von offenen Mengen ist offen, der Schnitt von endlich vielen offenen Mengen ist offen. Eine Menge heißt abgeschlossen wenn ihr Komplement offen ist. Zeige:

(a) Die endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

(b) Der Schnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Hinweis: Zeige und verwende: $A\cup B=(A^{c}\cap B^{c})^{c}$; und $\bigcup _{i\in I}A_{i}=\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}^{c}\right)^{c}$, wobei $\bigcup _{i\in I}A_{i}$ die ("beliebige") Vereinigung von Mengen $A_{i}$ ist (mit Indexmenge $I$), d.h. $\{x\in X:(\exists i\in I)x\in A_{i}\}$.

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