TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 63

Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz bzw. Summe passender Ausdrücke dar).

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3}{n(n+2)}}$.

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Hilfreiches von Har203

Unendliche Reihen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 63.

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 21:51, 14. Apr. 2026 (CEST)

Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz bzw. Summe passender Ausdrücke dar).

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3}{n\cdot (n+2)}}=$.

Folge

Wir werden zuerst eine Folge der Partialsummen erstellen.

Dafür werden wir die Reihenglieder mittels Partialbruchzerlegung in einzelne Terme aufteilen. Wir wollen herausfinden, ob die Reihe eine Teleskopsumme ist. Dabei heben sich beim Aufsummieren viele Terme gegenseitig auf und es bleiben Terme ganz am Anfang der Reihe und ganz am Ende übrig.

PBZ von $a_{n}={\frac {3}{n\cdot (n+2)}}\colon$

${\begin{alignedat}{1}&a_{n}={\frac {a}{n}}+{\frac {b}{n+2}}={\frac {a\cdot n+a\cdot 2+b\cdot n}{n\cdot (n+2)}}={\frac {(a+b)\cdot n+(a\cdot 2)}{n\cdot (n+2)}}=\\&\quad ={\frac {3}{n\cdot (n+2)}}\implies a\cdot 2=3\implies a={\frac {3}{2}}\quad \land \quad b={\frac {-3}{2}}\\\end{alignedat}}$

Die PBZ ist somit ${\frac {3}{2\cdot (n)}}-{\frac {3}{2\cdot (n+2)}}$.

Wir betrachten nun die ersten Folgenglieder der Partialsummen der vorgegebenen Reihe:

${\begin{alignedat}{1}&a_{1}=&{\frac {3}{2\cdot 1}}&{\color {green}-{\frac {3}{2\cdot 3}}}\qquad \qquad &a_{2}=&{\frac {3}{2\cdot 2}}&{\color {blue}-{\frac {3}{2\cdot 4}}}\qquad \qquad &a_{3}=&{\color {green}{\frac {3}{2\cdot 3}}}&{\color {orange}-{\frac {3}{2\cdot 5}}}\qquad \qquad &a_{4}=&{\color {blue}{\frac {3}{2\cdot 4}}}&{\color {red}-{\frac {3}{2\cdot 6}}}\\&a_{5}=&{\color {orange}{\frac {3}{2\cdot 5}}}&{\color {violet}-{\frac {3}{2\cdot 7}}}\qquad \qquad &a_{6}=&{\color {red}{\frac {3}{2\cdot 6}}}&-{\frac {3}{2\cdot 8}}\qquad \qquad &a_{7}=&{\color {violet}{\frac {3}{2\cdot 7}}}&-{\frac {3}{2\cdot 9}}\\\end{alignedat}}$

Wir haben hier die Auslöschung von Folgenteilen zwar nicht direkt bei den benachtbarten Glieder, sondern wir können erkennen, dass der rechte Teil von $a_{1}$ durch den linken Teil von $a_{3}$ subtrahiert wird, etc.

Schauen wir uns an, was für eine Partialsumme $s_{n}$ als Folgenteile übrigbleiben:

${\begin{alignedat}{1}&{\text{Von}}\colon \;a_{1}\colon \;{\frac {3}{2\cdot 1}}\qquad {\text{Von}}\colon \;a_{2}\colon \;{\frac {3}{2\cdot 2}}\qquad {\text{Von}}\colon \;a_{n-1}\colon \;-{\frac {3}{2\cdot (n+1)}}\qquad {\text{Von}}\colon \;a_{n}\colon \;-{\frac {3}{2\cdot (n+2)}}\\\end{alignedat}}$

Wir erstellen nun eine Formel für die Partialsummen $s_{n}\colon$

${\begin{alignedat}{1}&s_{n}={\frac {3}{2\cdot 1}}+{\frac {3}{2\cdot 2}}-{\frac {3}{2\cdot (n+1)}}-{\frac {3}{2\cdot (n+2)}}=\\[1em]&\quad ={\frac {6\cdot (n+1)\cdot (n+2)+3\cdot (n+1)\cdot (n+2)-6\cdot (n+2)-6\cdot (n+1)}{4\cdot (n+1)\cdot (n+2)}}=\\[1em]&\quad ={\frac {9\cdot n^{2}+15\cdot n}{4\cdot (n+1)\cdot (n+2)}}={\color {green}{\frac {3\cdot n\cdot (3\cdot n+5)}{4\cdot (n+1)\cdot (n+2)}}}\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{1}&{\text{Für}}\colon \;a_{1}\colon \;s_{1}=a_{1}=1&s_{1}={\frac {24}{24}}=1\quad {\color {green}\surd }\\&{\text{Für}}\colon \;a_{2}\colon \;s_{2}=s_{1}+a_{2}=1+{\frac {3}{8}}={\frac {11}{8}}&s_{2}={\frac {66}{48}}={\frac {33}{24}}={\frac {11}{8}}\quad {\color {green}\surd }\\&{\text{Für}}\colon \;a_{3}\colon \;s_{3}=s_{2}+a_{3}={\frac {11}{8}}+{\frac {3}{15}}={\frac {11}{8}}+{\frac {1}{5}}={\frac {63}{40}}\quad &s_{3}={\frac {81+45}{80}}={\frac {126}{80}}={\frac {63}{40}}\quad {\color {green}\surd }\\\end{alignedat}}$

Die Formel für die $n$.te Partialsummen $s_{n}$ lautet:

$s_{n}={\frac {3\cdot n\cdot (3\cdot n+5)}{4\cdot (n+1)\cdot (n+2)}},\;n\geq 1,n\in \mathbb {N}$.

Der Grenzwert der Reihe ist damit

${\begin{alignedat}{1}&\lim _{n\to \infty }\,s_{n}=\lim _{n\to \infty }\,{\frac {3\cdot n\cdot (3\cdot n+5)}{4\cdot (n+1)\cdot (n+2)}}=\lim _{n\to \infty }\,{\frac {3\cdot n\cdot 3\cdot n+3\cdot n\cdot 5}{4\cdot n^{2}+12\cdot n+8}}=\lim _{n\to \infty }\,{\frac {9+{\frac {45}{n}}}{4+{\frac {12}{n}}+{\frac {8}{n^{2}}}}}={\frac {9}{4}}.\end{alignedat}}$

$\quad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Partialbruchzerlegung, PBZ
• Reihe
• Konvergenzkriterium

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