TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 84

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

$\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt[{3}]{n+2}}}$

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Hilfreiches

Konvergenz von Reihen

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

• Ist $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ konvergent, dann gilt $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$, aber nicht umgekehrt.   (Satz 4.35)
• $\sum a_{n}$ heißt absolut konvergent, wenn $\sum \left|a_{n}\right|$ konvergent ist.   (Definition 4.43)

"absolut konvergent" ${\begin{Bmatrix}\Rightarrow \\{\underset {i.A.}{\nLeftarrow }}\end{Bmatrix}}$ "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.   (Satz 4.44)

Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe $\sum a_{n}$, d.h. $\operatorname {sgn}(a_{n})\ =\ (-1)^{n}$, und $\left|a_{n}\right|$ monoton fallend und konvergent nach $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ gilt:

$\sum a_{n}$ ist konvergent.   (Satz 4.41)

Minorantenkriterium

Wenn $\sum a_{n}$ und $\sum b_{n}$ zwei Reihen sind, $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ für fast alle $n$ gilt und $\sum a_{n}$ divergent, dann ist auch $\sum b_{n}$ divergent.   (Satz 4.48)

Harmonische Reihe

Die harmonischen Reihe ist streng monoton steigend und divergent.

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}$   (Beispiel 4.36)

Lösungsvorschlag

Aufgrund von $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt[{3}]{n+2}}}\right|=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{3}]{n+2}}}=0$ ist die Reihe konvergent.

Aufgrund von $\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{n+2}}}>\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{n}}}>\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}=\infty$ ist die Reihe nur bedingt konvergent.

Frage: Gehören in der letzten Zeile nicht die beiden ersten Terme vertauscht?

Antwort: Nein, hier wird die Divergenz mit dem Minorantenkriterium gezeigt

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