TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 327

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Gegeben sei die rekursiv definierte Folge \langle a_n\rangle mit a_0=3 und a_{n+1}=(a_n+6/a_n)/2 für n=0,1,2,\ldots. Man berechne die Folgeglieder \langle a_n\rangle für n=0,\ldots,10, untersuche die Folge in Bezug auf Monotonie, Beschränktheit sowie Konvergenz und berechne - wenn möglich - den Grenzwert.

Ergänzung (zumindest für WS06):

Zur Bestimmung des Grenzwerts führe man in der Rekursionsgleichung den Grenzübergang für n gegen unendlich durch.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Grenzwert

Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge (a_n)_{n\geq0}, falls in jeder \epsilon-Umgebung von a fast alle Folgenglieder a_n liegen, d.h., falls

\forall\epsilon > 0 \quad \exists N(\epsilon)\in\mathbb{N} \quad \forall n>N(\epsilon):|a_n-a|<\epsilon   (Definition 4.4)

Monotonie
Monotonie von Folgen und Reihen[Bearbeiten]
  • \langle x_n\rangle_{n\in\mathbb N} heißt monoton \begin{Bmatrix}\text{wachsend}\\\text{fallend}\end{Bmatrix}
\Longleftrightarrow\begin{cases}x_{n+1}\geq x_n\\x_{n+1}\leq x_n\end{cases}
  • \langle x_n\rangle_{n\in\mathbb N} heißt streng monoton \begin{Bmatrix}\text{wachsend}\\\text{fallend}\end{Bmatrix}
\Longleftrightarrow\begin{cases}x_{n+1}>x_n\\x_{n+1}<x_n\end{cases}
Beschränktheit
Beschränktheit[Bearbeiten]

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

  • \langle x_n\rangle_{n\in\mathbb N} heißt nach \begin{Bmatrix}\text{oben}\\\text{unten}\end{Bmatrix} beschränkt \Longleftrightarrow\exists a\in\mathbb R\quad\forall n\in\mathbb N:\begin{cases}x_n\leq a&\text{obere Schranke}\\x_n\geq a&\text{untere Schranke}\end{cases}
  • \langle x_n\rangle_{n\in\mathbb N} heißt beschränkt, wenn sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt.
Konvergenz von Folgen
Konvergenz einer Folge[Bearbeiten]

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

  1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
  2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.
    In \mathbb R (aber z.B. nicht in \mathbb Q!) gilt:
    • a_n \nearrow:\quad\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\text{sup}(a_n)_{n\in\mathbb N}
    • a_n \searrow:\quad\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\text{inf}(a_n)_{n\in\mathbb N}
  3. \lim x_n=x,\;\lim y_n=y\Longrightarrow\begin{cases}
\lim(x_n\pm y_n)=x\pm y\\
\lim(x_n\cdot y_n)=x\cdot y\\
\lim(\frac{x_n}{y_n})=\frac{x}{y}\qquad y_n, y\neq0
\end{cases}


Lösung von Baccus[Bearbeiten]

Numerische Lösung[Bearbeiten]

\begin{array}{lll}
n=0:& a_0 &=3\\
n=1:& a_1=\frac{a_0+6/a_0}{2}=\frac{3+6/3}{2} &=\frac{5}{2}=2,500\\
n=2:& a_2=\frac{\frac{5}{2}+6/\frac{5}{2}}{2} &=\frac{49}{20}=2,450\\
n=3:& a_3=\frac{\frac{49}{20}+6/\frac{49}{20}}{2} &=\frac{4801}{1960}\approx2,449\\
n=4:& a_4=\frac{a_3+6/a_3}{2} &=\frac{46099201}{18819920}\approx2,449\\
\vdots\\
n=10:& a_{10}=\frac{\sim2,449+6/\sim2,449}{2} &\approx2,449\\
\vdots\\
\end{array}

Numerisch (am TI-92) berechnet, nähert sich a_n also recht schnell dem Grenzwert 2,449 an.

Zitat von T. Nordhaus:

Ja, die Konvergenz ist quadratisch - es handelt sich nämlich um eine Anwendung des ehrwürdigen Newton-Verfahrens zu Berechnung der Nullstellen der Funktion x -> x^2 - 6.


Monotonie[Bearbeiten]

Dieser elegante Beweis beruht auf den Ausführungen von P. Luschny, dem ich auf diesem Wege herzlich danken möchte.

Die einzig notwendige Vorraussetzung ist die Kenntnis der Ungleichung von arithmetischem und geometrischen Mittel, die wie folgt definiert ist:

\sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i}\leq\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i



Aus der o.g. Ungleichung folgt also: 
\underset{=\sqrt{6}}{\underbrace{\sqrt{a_n\cdot6/a_n}}}\leq
\underset{=a_{n+1}}{\underbrace{\frac{a_n+6/a_n}{2}}}
\quad(\forall a_n>0,\;\forall n\geq0)

(Als Nebenprodukt haben wir soeben eine untere Schranke der Folge gefunden: \sqrt 6).


\xrightarrow[n\geq1]{\underbrace{}}\;\sqrt 6\leq a_{n}
\Longrightarrow6\leq a_{n}^2
\Longrightarrow6/a_{n}\leq a_n
\quad(\forall n\geq1)

Aufgrund der Beziehung 6/a_{n}\leq a_n ist also auch 
\underset{=a_{n+1}}{\underbrace{\frac{a_n+6/a_n}{2}}}\leq
\underset{=a_n}{\underbrace{\frac{a_n+a_n}{2}}}.

Fazit: Die Folge \langle a_n\rangle ist monoton fallend.

Beschränktheit[Bearbeiten]

Die obere Schranke läßt sich trivial aus

  • a_0=3 und
  • "monoton fallend"

als =3 festlegen.

Die untere Schranke wurde schon im Monotoniebeweis gefunden (und ist (owB, oEdA) das Infimum).

Fazit: Die Folge ist also sowohl nach oben, wie auch nach unten beschränkt.


Grenzwert[Bearbeiten]

\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n+6/a_n}{2}\quad|\cdot2

\begin{align}
2\lim a_n&=\lim(a_n+6/a_n)\\
2\lim a_n&=\lim a_n+\lim(6/a_n)\quad|-\lim a_n\\
\lim a_n&=\lim(6/a_n)\quad|\cdot a_n\\
\lim(a_n)^2&=\lim6\cdot\lim1\\
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n&=\sqrt6
\end{align}


Zitat von Klaus-R. Löffler:

Als Bemerkung würde ich am Ende hinzufügen, dass die entsprechende Überlegung für jede positive Zahl c anstelle von 6 (z.B. mit a_0 = c/2) gilt, und dass das Verfahren eine wichtige Möglichkeit darstellt, mit wenigen Schritten eine Wurzel mit beliebiger Genauigkeit zu bestimmen.


--Baccus 10:42, 28. Jan 2007 (CET)

Links[Bearbeiten]

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