TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 465

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\in V\;|\;x+y+z\leq 0\}$

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Hilfreiches

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag

Gegeben ist ein Vektorraum: $V=\mathbb {R} ^{3}$, K = R, +, also mathematischer geschrieben: <R³,+,R>

W $\leq 0$ V, W = {$(x,y,z)|x+y+z\leq 0$ }

Dass heißt Vektoren die $\leq 0$ sind, müssen addiert werden und die Summe muss die Bedingung $\leq 0$ erfüllen.

Als Beispiel:

v1 = ( x y z )         (x+y+z)          $\leq 0$
v2 = (x1 y1 z1)        (x1+y1+z1)       $\leq 0$ und das Ergenis der Addition wäre dann 
v3 =  v1+v2 =          (x+x1 y+y1 z+z1) $\leq 0$

Man kann aber nicht beliebig skalieren ($\lambda$ aus R). Daher kann $\lambda$ negativ sein.

Somit wird aber eine negative Summe der Komponenten von einem negativen Vektor positv werden.

--> Kein Teilraum.

Links

• Diskussion im UE-Forum WS07 Beispiel 330

Wikipedia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum
• Körper

• ähnliche Beispiele:
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 361
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 363
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 365
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 366
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 369
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 370

• Siehe auch:

Heldermann, Mathematik für Informatiker, Seite 96