TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 467

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\in V\;|\;x+y+z\leq 0\}$

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Hilfreiches

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag

Gegeben ist ein Vektorraum: $V=\mathbb {R} ^{3}$, K = R, +, also mathematischer geschrieben: <R³,+,R>

W $\leq 0$ V, W = {$(x,y,z)|x+y+z\leq 0$ }

Dass heißt Vektoren die $\leq 0$ sind, müssen addiert werden und die Summe muss die Bedingung $\leq 0$ erfüllen.

Als Beispiel:

v1 = ( x y z )         (x+y+z)          $\leq 0$
v2 = (x1 y1 z1)        (x1+y1+z1)       $\leq 0$ und das Ergenis der Addition wäre dann 
v3 =  v1+v2 =          (x+x1 y+y1 z+z1) $\leq 0$

Man kann aber nicht beliebig skalieren ($\lambda$ aus R). Daher kann $\lambda$ negativ sein.

Somit wird aber eine negative Summe der Komponenten von einem negativen Vektor positv werden.

--> Kein Teilraum.

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum

Sei $\quad \langle V,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in aU,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 19:59, 3. Mär. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\,\mid \,x+y+z\leq 0\}$

Nicht leer:

• $W\neq \emptyset$, da ${\vec {0}}=(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,0)\,\in W$, mit $(x_{1}+x_{2}+x_{3})\leq 0\implies {\vec {0}}\in W$.

Abgeschlossen bezüglich Addition:

• Seien ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3}),\,{\vec {y}}=(y_{1},y_{2},y_{3})\in W\implies {\vec {x}}+{\vec {y}}=(x_{1},x_{2},x_{3})+(y_{1},y_{2},y_{3})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3}$ mit $x_{1}+x_{2}+x_{3}\leq 0$ und $y_{1}+y_{2}+y_{3}\leq 0\implies (x_{1}+x_{2}+x_{3})+(y_{1}+y_{2}+y_{3})\leq 0\implies (x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})+(x_{3}+y_{3})\leq 0\implies \ ({\vec {x}}+{\vec {y}})\in W$.

Daher ist $W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x+y+z\leq 0\right\}$ bezüglich der Addition abgeschlossen.

Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

• Seien ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})\in W,\,\lambda \in \mathbb {R}$.

$\lambda \cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (x_{1},x_{2},x_{3})=(\lambda \cdot x_{1},\lambda \cdot x_{2},\lambda \cdot x_{3})$ mit $(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ leq0$.

Gegenbeispiel: Sei nun $\lambda =-1\in \mathbb {R}$ und $>{\vec {x}}=(-1,-1,-1)$ mit $x_{1}+x_{2}+x_{3}=(-3)\leq 0\implies \lambda \cdot {\vec {x}}=(\lambda \cdot (-1),\lambda \cdot (-1),\lambda \cdot (-1))=\lambda \cdot (-1,-1,-1)$. Damit gilt für den Ergebnisvektor $\lambda \cdot (-1,-1,-1)\colon \,(-1)\cdot (-3)=3\geq 0\implies \lambda \cdot {\vec {x}}\not \in W$.

Daher ist $W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x+y+z\leq 0\right\}$ bezüglich der Skalarmultiplikation ${\color {red}nicht}$ abgeschlossen.

Allgemeine Beurteilung: $W=\{(x,y,z)\,\mid \,x+y+z\leq 0\in \mathbb {R} \}$:

Beginnen wir mit $z=0$, dann gilt $y=-x$. Das ist genau die $2$. Winkelhalbierende in der $xy$-Ebene bei $(3/4)\cdot \pi \equiv 135^{\circ }$. Was passiert, wenn noch zusätzlich $z$ hinzukommt. Verschieben wir diese Gerade nach $z=1$, verschiebt sich diese Gerade parallel nach $y=-1\to (0,-1,1)$ und geht durch diesen Punkt u.s.w. D.h diese Geraden spannen eine Ebene durch den Ursprung auf, die durch die $2$. Winkelhalbierende in der $xy$-Ebene geht und zusätzlich durch den Punkt $(0,-1,1)$.

Das Resultat ist eine Ebene, die in allen drei Grundebenen $xy,\,xz,\,yz$ die 2. Winkelhalbierende als drei erzeugende Geraden enthält. Diese drei Geraden liegen alle in der gleichen Ebnen (für die Bestimmung einer Ebene reicht im Normalfall eine Gerade und ein Punkt aus). Die Geraden sind folgende drei Geraden:

In der $xy$-Ebene: $y=-x$

In der $xz$-Ebene: $z=-x$

In der $yz$-Ebene: $z=-y$

Diese Ebene ist die inkludierte Begrenzungsebene der beschriebenen Menge $W$. Zusätzlich kommt zu $W$ noch die Menge $\{(x,y,z)\,\vert \,x+y+z<0\}$ hinzu, also was sich unterhalb dieser Ebene befindet.

Gesamtergebnis: $W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x+y+z\leq 0\right\}$. $W\neq \emptyset$ ist zwar nicht leer und sogar abgeschlossen bezüglich der Addition, aber ist ${\color {red}nicht}$ abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation.

Somit ist $W$ ${\color {red}kein}$ Untervektorraum von $\mathbb {R} ^{3}$. $\qquad \qquad \blacksquare$.

Links

• Diskussion im UE-Forum WS07 Beispiel 330

Wikipedia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum

Ähnliche Beispiele:

• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_463
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Weitere Beispiele:

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 361
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 363
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 365
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 366
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 369
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 370

Siehe auch:

• Heldermann, Mathematik für Informatiker, Seite 96