TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 471

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:
$W=\{(x,y,z)\;|\;x^{2}+y^{2}=1\}$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kriterium 1 des Unterraumkriteriums, $U\neq \varnothing$ , ist erfüllt, da es Vektoren gibt, für die gilt $x^{2}+y^{2}=1$ , wie z. B.

${\begin{bmatrix}0\\1\\8\end{bmatrix}}$

2. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt hier die Abgeschlossenheit bzgl. Addition von $U+U$ zu prüfen.

Das zweite Kriterium ist nicht erfüllt, da nicht für jede Addition zweier Vektoren aus U gilt, dass die Summe wieder $x^{2}+y^{2}=1$ erfüllt. Wir wählen z. B. die folgenden Vektoren und addieren:

${\begin{bmatrix}0\\1\\p\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\sqrt {\frac {5}{9}}}\\{\frac {2}{3}}\\q\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {\frac {5}{9}}}\\{\frac {5}{3}}\\p+q\end{bmatrix}}$

Nun müsste für die Summe der beiden Vektoren gelten $x^{2}+y^{2}=1$ . Dies ist jedoch nicht der Fall, weil ${\frac {5}{9}}+{\frac {25}{9}}={\frac {10}{3}}\not =1$ : Keine Abgeschlossenheit bzgl. Addition lt. Kriterium 2.

3. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das dritte Kriterium ist auch nicht erfüllt, weil für jedes Produkt eines Vektors aus U mit einem Skalar $\lambda$ aus $\mathbb {R}$ gelten müsste, dass es wieder die Kondition $x^{2}+y^{2}=1$ erfüllt (Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation von $U\cdot K$ ). Dies ist jedoch auch nicht der Fall.

z. B.

${\begin{bmatrix}0\\1\\r\end{bmatrix}}\cdot \lambda ={\begin{bmatrix}0\\\lambda \\r\cdot \lambda \end{bmatrix}}$

Diese Gleichung stimmt nur für $\lambda =1$ und nicht für alle Werte des Körpers $\mathbb {R}$ . Somit ist auch das dritte Kriterium nicht erfüllt. Es handelt sich bei W also nicht um einen Teilraum des oben genannten Vektorraums.

Geometrische Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Shikantaza 19:24, 30. Mai 2009 (CEST)

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]