TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 327

Gegeben sei die rekursiv definierte Folge $\langle a_{n}\rangle$ mit $a_{0}=3$ und $a_{n+1}=(a_{n}+6/a_{n})/2$ für $n=0,1,2,\ldots$. Man berechne die Folgeglieder $\langle a_{n}\rangle$ für $n=0,\ldots ,10$, untersuche die Folge in Bezug auf Monotonie, Beschränktheit sowie Konvergenz und berechne - wenn möglich - den Grenzwert.

Ergänzung (zumindest für WS06):

Zur Bestimmung des Grenzwerts führe man in der Rekursionsgleichung den Grenzübergang für n gegen unendlich durch.

Hilfreiches

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \epsilon >0\quad \exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$   (Definition 4.4)

Monotonie

Monotonie von Folgen und Reihen

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt monoton ${\begin{Bmatrix}{\text{wachsend}}\\{\text{fallend}}\end{Bmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{cases}x_{n+1}\geq x_{n}\\x_{n+1}\leq x_{n}\end{cases}}$

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt streng monoton ${\begin{Bmatrix}{\text{wachsend}}\\{\text{fallend}}\end{Bmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{cases}x_{n+1}>x_{n}\\x_{n+1}<x_{n}\end{cases}}$

Beschränktheit

Beschränktheit

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt nach ${\begin{Bmatrix}{\text{oben}}\\{\text{unten}}\end{Bmatrix}}$ beschränkt $\Longleftrightarrow \exists a\in \mathbb {R} \quad \forall n\in \mathbb {N} :{\begin{cases}x_{n}\leq a&{\text{obere Schranke}}\\x_{n}\geq a&{\text{untere Schranke}}\end{cases}}$

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt beschränkt, wenn sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt.

Konvergenz von Folgen

Konvergenz einer Folge

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

   In $\mathbb {R}$ (aber z.B. nicht in $\mathbb {Q}$!) gilt:

   • $a_{n}\nearrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{sup}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
   • $a_{n}\searrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{inf}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
3. $\lim x_{n}=x,\;\lim y_{n}=y\Longrightarrow {\begin{cases}\lim(x_{n}\pm y_{n})=x\pm y\\\lim(x_{n}\cdot y_{n})=x\cdot y\\\lim({\frac {x_{n}}{y_{n}}})={\frac {x}{y}}\qquad y_{n},y\neq 0\end{cases}}$

Lösung von Baccus

Numerische Lösung

${\begin{array}{lll}n=0:&a_{0}&=3\\n=1:&a_{1}={\frac {a_{0}+6/a_{0}}{2}}={\frac {3+6/3}{2}}&={\frac {5}{2}}=2,500\\n=2:&a_{2}={\frac {{\frac {5}{2}}+6/{\frac {5}{2}}}{2}}&={\frac {49}{20}}=2,450\\n=3:&a_{3}={\frac {{\frac {49}{20}}+6/{\frac {49}{20}}}{2}}&={\frac {4801}{1960}}\approx 2,449\\n=4:&a_{4}={\frac {a_{3}+6/a_{3}}{2}}&={\frac {46099201}{18819920}}\approx 2,449\\\vdots \\n=10:&a_{10}={\frac {\sim 2,449+6/\sim 2,449}{2}}&\approx 2,449\\\vdots \\\end{array}}$

Numerisch (am TI-92) berechnet, nähert sich $a_{n}$ also recht schnell dem Grenzwert 2,449 an.

^{Zitat von T. Nordhaus:}

Ja, die Konvergenz ist quadratisch - es handelt sich nämlich um eine Anwendung des ehrwürdigen Newton-Verfahrens zu Berechnung der Nullstellen der Funktion x -> x^2 - 6.

Monotonie

Dieser elegante Beweis beruht auf den Ausführungen von P. Luschny, dem ich auf diesem Wege herzlich danken möchte.

Die einzig notwendige Vorraussetzung ist die Kenntnis der Ungleichung von arithmetischem und geometrischen Mittel, die wie folgt definiert ist:

${\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

• Den Term (aus der Angabe) ${\frac {a_{n}+6/a_{n}}{2}}$ kann man auch als arithmetisches Mittel der beiden Faktoren $a_{n}$ und ${\tfrac {6}{a_{n}}}$ verstehen.
• Aus denselben Faktoren $a_{n}$ und ${\tfrac {6}{a_{n}}}$ können wir auch das geometrische Mittel konstruieren: ${\sqrt[{2}]{a_{n}\cdot {\tfrac {6}{a_{n}}}}}$.

Aus der o.g. Ungleichung folgt also: ${\underset {={\sqrt {6}}}{\underbrace {\sqrt {a_{n}\cdot 6/a_{n}}} }}\leq {\underset {=a_{n+1}}{\underbrace {\frac {a_{n}+6/a_{n}}{2}} }}\quad (\forall a_{n}>0,\;\forall n\geq 0)$

(Als Nebenprodukt haben wir soeben eine untere Schranke der Folge gefunden: ${\sqrt {6}}$).

${\xrightarrow[{n\geq 1}]{\underbrace {} }}\;{\sqrt {6}}\leq a_{n}\Longrightarrow 6\leq a_{n}^{2}\Longrightarrow 6/a_{n}\leq a_{n}\quad (\forall n\geq 1)$

Aufgrund der Beziehung $6/a_{n}\leq a_{n}$ ist also auch ${\underset {=a_{n+1}}{\underbrace {\frac {a_{n}+6/a_{n}}{2}} }}\leq {\underset {=a_{n}}{\underbrace {\frac {a_{n}+a_{n}}{2}} }}$.

Fazit: Die Folge $\langle a_{n}\rangle$ ist monoton fallend.

Beschränktheit

Die obere Schranke läßt sich trivial aus

• $a_{0}=3$ und
• "monoton fallend"

als =3 festlegen.

Die untere Schranke wurde schon im Monotoniebeweis gefunden (und ist (owB, oEdA) das Infimum).

Fazit: Die Folge ist also sowohl nach oben, wie auch nach unten beschränkt.

Grenzwert

$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n+1}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}+6/a_{n}}{2}}\quad |\cdot 2$

${\begin{aligned}2\lim a_{n}&=\lim(a_{n}+6/a_{n})\\2\lim a_{n}&=\lim a_{n}+\lim(6/a_{n})\quad |-\lim a_{n}\\\lim a_{n}&=\lim(6/a_{n})\quad |\cdot a_{n}\\\lim(a_{n})^{2}&=\lim 6\cdot \lim 1\\\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}&={\sqrt {6}}\end{aligned}}$

^{Zitat von Klaus-R. Löffler:}

Als Bemerkung würde ich am Ende hinzufügen, dass die entsprechende Überlegung für jede positive Zahl c anstelle von 6 (z.B. mit a_0 = c/2) gilt, und dass das Verfahren eine wichtige Möglichkeit darstellt, mit wenigen Schritten eine Wurzel mit beliebiger Genauigkeit zu bestimmen.

--Baccus 10:42, 28. Jan 2007 (CET)

Links

• Diskussion im UE-Forum
• Diskussion im Usenet

Wikipädia:

• Arithmetisches Mittel
• Geometrisches Mittel
• Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel