TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 507

Sei $V=\{\sum _{i=0}^n{a}_i\cdot x^i|a_i\in ℝ,n\in \mathbb{N}\}$ der Vektorraum aller Polynome mit reellen Koeffizienten.

Untersuchen Sie, ob $1-x+x^3,3-x^2+x^3$ und $-5+3x+x^2-4x^3$ linear unabhängig sind

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lineare Unabhängigkeit

Lineare Abhängigkeit

Eine Menge $M$ an Vektoren $\{\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}\}$ heißt linear abhängig, wenn gilt:

$\mathrm{\exists }\overrightarrow{l}=({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)\ne \overrightarrow{0_n},{\lambda }_i\in 𝕂$ mit ${\lambda }_1\cdot \overrightarrow{x_1}+{\lambda }_2\cdot \overrightarrow{x_2}+\dots +{\lambda }_n\cdot \overrightarrow{x_n}=\overrightarrow{0}$.

Es existiert eine Linearkombination aus der Menge $M$, die den Nullvektor $\overrightarrow{0_n}$ ergibt, wobei nicht alle ${\lambda }_i=0$ sind - eine oder mehrere sogenannte nicht triviale Lösungen existieren. Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn es keinen Vektor v in der Menge M gibt, der durch Linearkombinationen der anderen Vektoren der Menge dargestellt werden kann.
Mathematisch ausgedrückt:

Um zu zeigen, dass die Vektoren unabhängig sind, muss man beweisen, dass die Linearkombination

${\lambda }_1\cdot {\overrightarrow{v}}_1+{\lambda }_2\cdot {\overrightarrow{v}}_2+\cdots +{\lambda }_n\cdot {\overrightarrow{v}}_n=\overrightarrow{0}$

trivial ist, d.h. dass ${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=0$

Lösungsvorschlag

${\lambda }_1\cdot {\overrightarrow{v}}_1+{\lambda }_2\cdot {\overrightarrow{v}}_2+{\lambda }_3\cdot {\overrightarrow{v}}_3=\overrightarrow{0}$
${\lambda }_1\cdot (1-x+x^3)+{\lambda }_2\cdot (3-x^2+x^3)+{\lambda }_3\cdot (-5+3x+x^2-4x^3)=0\cdot x^3+0\cdot x^2+0\cdot x^1+0\cdot x^0$
ausmultipliziert und zusammengefasst ergibt das:
$x^3\cdot ({\lambda }_1+{\lambda }_2-4\cdot {\lambda }_3)+x^2\cdot (-{\lambda }_2+{\lambda }_3)+x^1\cdot (-{\lambda }_1+3{\lambda }_3)+x^0\cdot ({\lambda }_1+3{\lambda }_3-5{\lambda }_3)=0\cdot x^3+0\cdot x^2+0\cdot x^1+0\cdot x^0$
aus dieser Gleichung folgt:
${\lambda }_1+{\lambda }_2-4\cdot {\lambda }_3=0$
$-{\lambda }_2+{\lambda }_3=0$
$-{\lambda }_1+3\cdot {\lambda }_3=0$
${\lambda }_1+3{\lambda }_2-5\cdot {\lambda }_3=0$
aus diesen Gleichungen kann man leicht errechnen, dass

${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=0$

ist, woraus folgt, dass die Vektoren linear unabhängig sind

Hilfsmittel von Har203

S ei $(V,+,K)$ ein Vektorraum und $U$ eine nicht leere Teilmenge von $V$. Bildet $(U,+,K)$ wieder einen Vektorraum, dann heißt $U$ Unterraum oder Teilraum von $V$.

Als vereinfachte Schreibweise verwendet man $U\le V$ für die Eigenschaft, dass $U$ Unterraum von $V$ ist. Man beachte, dass der ganze Raum $V$ und die Menge $\mathbf{\{}\overrightarrow{\mathrm{𝟎}}\mathbf{\}}$, die nur aus dem Nullvektor besteht, immer Unterräume von $V$ sind:

$V\le V$ und $\mathbf{\{}\overrightarrow{\mathrm{𝟎}}\mathbf{\}}\le V$

Sei $⟨U,+,K⟩$ ein Vektorraum, $U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$\begin{array}{cc}& U\ne \mathrm{\varnothing }\\ & \overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in U& & ⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U& & (U\text{ ist abgeschlossen bezüglich }U+U)\\ & \overrightarrow{x}\in U,\lambda \in K& & ⟹\lambda \cdot \overrightarrow{x}\in U& & (U\text{ ist abgeschlossen bezüglich }U\cdot K)\end{array}$

Zum Prüfen, ob eine nicht leere Teilmenge $U$ von $V$ einen Unterraum bildet, muss man nur untersuchen, ob zu je zwei Vektoren $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in U$ und $\lambda \in K$ auch $\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U$ und $\lambda \cdot \overrightarrow{x}\in U$ sind.

Eine Menge $M=\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\dots ,\overrightarrow{v_n}\}$ von Elementen eines Vektorraums $V$ ist genau dann linear unabhängig, wenn nur die triviale Linearkombination den Nullvektor darstellt:

${\lambda }_1\cdot \overrightarrow{v_1}+{\lambda }_2\cdot \overrightarrow{v_2}+\dots +{\lambda }_n\cdot \overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{\mathrm{𝟎}}⟹{\lambda }_1={\lambda }_2=\dots ={\lambda }_n=\mathrm{𝟎}$.

$M$ ist genau dann linear abhängig, wenn es eine nicht triviale Linearkombination gibt, die den Nullvektor darstellt:

$\mathrm{\exists }({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)\ne (0,0,\dots ,0)=\overrightarrow{\mathrm{𝟎}}$ mit ${\lambda }_1\cdot \overrightarrow{v_1}+{\lambda }_2\cdot \overrightarrow{v_2}+\dots +{\lambda }_n\cdot \overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{\mathrm{𝟎}}$

Lösung#1 von Har203

Sei $V=\{\sum _{i=0}^n{a}_i\cdot x^i|a_i\in ℝ,n\in \mathbb{N}\}$ der Vektorraum aller Polynome mit reellen Koeffizienten.

Untersuchen Sie, ob $1-x+x^3,3-x^2+x^3$ und $-5+3x+x^2-4x^3$ linear unabhängig sind.

Zu prüfen ist, ob aus

 ${\lambda }_1\cdot \overrightarrow{v_1}+{\lambda }_2\cdot \overrightarrow{v_2}+\dots +{\lambda }_n\cdot \overrightarrow{v_n}=0$ folgt ${\lambda }_1={\lambda }_2=\dots ={\lambda }_n=\mathrm{𝟎}$.

${\lambda }_1\cdot (1-x+x^3)+{\lambda }_2\cdot (3-x^2+x^3)+{\lambda }_3\cdot (-5+3x+x^2-4\cdot x^3)=0$

$\begin{array}{cc}& {\lambda }_1-{\lambda }_1\cdot x+{\lambda }_1\cdot x^3+3\cdot {\lambda }_2-{\lambda }_2\cdot x^2+{\lambda }_2^{\cdot }{x}^3+(-5)\cdot {\lambda }_3+3\cdot {\lambda }_3\cdot x+{\lambda }_3\cdot x^2-4\cdot {\lambda }_3\cdot x^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}& {\lambda }_1+3\cdot {\lambda }_2-5\cdot {\lambda }_3+(-{\lambda }_1+3\cdot {\lambda }_3)\cdot x+(-{\lambda }_2+{\lambda }_3)\cdot x^2+({\lambda }_1+{\lambda }_2-4\cdot {\lambda }_3)\cdot x^3\end{array}$

Ein Polynom wird genau dann $0$, wenn alle Koeffizienten jeden Grades des Polynoms ebenfalls $0$ sind. D.h. wir müssen alle vier Gleichungen auf den Wert $0$ überprüfen

$\begin{array}{cc}& {\lambda }_1+3\cdot {\lambda }_2-5\cdot {\lambda }_3=0\wedge -{\lambda }_1+3\cdot {\lambda }_3=0\wedge -{\lambda }_2+{\lambda }_3=0\wedge {\lambda }_1+{\lambda }_2-4\cdot {\lambda }_3=0\end{array}$

$\begin{array}{cccccccccc}& {\lambda }_1+3\cdot {\lambda }_2-5\cdot {\lambda }_3=0& & (2)& & ⟹3\cdot {\lambda }_3+3\cdot {\lambda }_3-5\cdot {\lambda }_3=0& & (3)& & ⟹{\lambda }_3=0\\ & -{\lambda }_1+3\cdot {\lambda }_3=0& & (1)& & ⟹{\lambda }_1=3\cdot {\lambda }_3& & (4)& & ⟹{\lambda }_1=0\\ & -{\lambda }_2+{\lambda }_3=0& & (1)& & ⟹{\lambda }_2={\lambda }_3& & (4)& & ⟹{\lambda }_2=0\\ & {\lambda }_1+{\lambda }_2-4\cdot {\lambda }_3=0& & (2)& & ⟹3\cdot {\lambda }_3+{\lambda }_3-4\cdot {\lambda }_3=0& & (4)& & ⟹0=0\end{array}$

D.h. alle ${\lambda }_i$ sind 0: ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=0$

Die drei Gleichungen sind genau dann linear unabhängig, wenn nur die triviale Linearkombination den Nullvektor erzeugen.

$⟹$ Die drei Polynome $1-x+x^3,3-x^2+x^3$ und $-5+3x+x^2-4x^3$ sind linear unabhängig

Lösung#2 von Har203

Sei $V=\{f\mid f:ℝ\to ℝ\}$ der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen.

Untersuchen Sie, ob $f(x)=1-1\cdot x+1\cdot x^3,g(x)=3-1\cdot x^2+1\cdot x^3$ und $h(x)=-5+3\cdot x+1\cdot x^2-4\cdot x^3$ linear unabhängig sind.

Für eine lineare Unabhängigkeit der drei vorgegebenen Polynome (${ℝ}_3[x]$) darf die folgende Gleichung nur die triviale Lösung (${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=0$) haben:

${\lambda }_1\cdot f(x)+{\lambda }_2\cdot g(x)+{\lambda }_3\cdot h(x)=0,{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\in ℝ,\mathrm{\forall }x\in ℝ⟹{\lambda }_1\cdot (1\cdot x^0-1\cdot x^1+0\cdot x^2+1\cdot x^3)+{\lambda }_2\cdot (3\cdot x^0+0\cdot x^1-3\cdot x^2+1\cdot x^3)+{\lambda }_3\cdot (-5\cdot x^0+3\cdot x^1+1\cdot x^2-4\cdot x^3)=0\equiv$ Nullpolynom.

• Anmerkung: Ein Polynom ist genau dann $0$ (Nullpolynom), wenn für alle Koeffizienten $a_i$ von $\sum _{i=0}^{n|\mathrm{\infty }}{a}_i\cdot x^i$ gilt $a_i=0,\mathrm{\forall }i=0,\dots ,n$ bzw. $i=0,\dots ,\mathrm{\infty }$.

• Nur zum Bezugnehmen auf Werte: Die Koordinaten der Vektoren $\overrightarrow{f}$ seien $f_i\in ℝ$, jene von $\overrightarrow{g}$ seien $g_i\in ℝ$ und jene von $\overrightarrow{h}$ seien $h_i\in ℝ$, jeweils für $i\in \{1,2,3\}$.

Wir erhalten die obere Gleichung für ${\lambda }_i$, je ein ${\lambda }_i$ für eine vorgegebene Funktion mit den Koeffizienten $f_i,g_i,h_i$. Für das Lösen der Polynom-Gleichung gilt, dass das Nullpolynom genau dann erreicht wird, wenn alle Koeffizienten $a_i=0$ aller Grade von $x^0,\dots ,x^n$ bzw. $x^0,\dots ,\mathrm{\infty }$ sind. D.h. wir ordnen die Gleichung nach den Graden von $x^i$ um, erstellen eine separate Gleichung für jede vorhandene Potenz von $x^i$. Jede dieser Gleichungen muss nun separat den Wert $0$ annehmen:

$\begin{array}{cccccccc}& {\lambda }_1\cdot (1)& +{\lambda }_2& \cdot (3)& & +{\lambda }_3\cdot (-5)& =0& \text{ Gleichung für }{a}_0\cdot x^0.\\ & {\lambda }_1\cdot (-1)& +{\lambda }_2& \cdot (0)& & +{\lambda }_3\cdot (3)& =0& \text{ Gleichung für }{a}_1\cdot x^1.\\ & {\lambda }_1\cdot (0)& +{\lambda }_2& \cdot (-1)& & +{\lambda }_3\cdot (1)& =0& \text{ Gleichung für }{a}_2\cdot x^2.\\ & {\lambda }_1\cdot (1)& +{\lambda }_2& \cdot (1)& & +{\lambda }_3\cdot (-4)& =0& \text{ Gleichung für }{a}_3\cdot x^3.\end{array}$

Wir stellen das Gleichungssystem mit den drei Gleichungen mit den drei Unbekannten (${\lambda }_i,i\in \{1,2,3\}$) auf. Dabei übernehmen wir die Werte aus den Gleichungen von oben:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -5\\ -1& 0& 3\\ 0& -1& 1\\ 1& 1& -4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ {\lambda }_3\end{array}\right)=\overrightarrow{0_V}$

Lineares Gleichungssystem

Wir lösen das Gleichungssystem mit dem gauß'schem Eliminationsverfahren, sodass wir den Rang der Matrix $A$ ablesen können. Dafür benötigen wir keine erweiterte Matrix $A$:

$\begin{array}{cc}A=& \left(\begin{array}{ccc}1& 3& -5\\ -1& 0& 3\\ 0& -1& 1\\ 1& 1& -4\end{array}\right)\begin{array}{c}+3\cdot Z3\\ \cdot (-1)\\ \\ +Z2\end{array}\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 1& 0& -3\\ 0& -1& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ -Z1\\ \\ +Z3\end{array}\to \cdots \to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$

Der Rang der Matrix $A$ ist drei. Das heißt, dass drei Funktionen linear unabhängig sind, also alle drei vorgegebenen.

$⟹$ Das heißt, dass alle drei Funktionen linear unabhängig sind. $◼$

Links

Wikipedia:

• Matrix
• Lineare Unabhängigkeit
• Lineare Unabhängigkeit: Matrix (Spalten und Zeilen)
• Gaußsches_Eliminationsverfahren Gaußsche Eliminationsverfahren
• Polynomring $R_n[x]$

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