TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 15

Gegeben sei die quadratische Form $q({\vec {x}})=q(x,y)=24x^{2}+2bxy+6y^{2}$ mit $b\in \mathbb {R}$. Wie lautet die zugehörige symmetrische Matrix $A$, sodass $q({\vec {x}})={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}$? Für welche Werte von $b$ ist die Form positiv definit?

Hilfreiches

Quadratische Form

Quadratische Form

Definition:

Die Quadratische Form aus einem Vektor ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ und einer symmetrischen quadratischen Matrix $A_{n}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}},\;a_{ij}=a_{ji}\;\forall i,j$ ist

$q({\vec {x}})={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}$.

• Für z.B. den Fall n=2 ist also $q(x,y)=\left(x\ y\right){\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=ax^{2}+2bxy+cy^{2}$.

Definitheit

Definitheit

Definition: Eine quadratische Form $q({\vec {x}})={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}$ (bzw. die zugehörige symmetrische Matrix $A$) heißt:

1. positiv definit, falls $q({\vec {x}})>0\quad \forall {\vec {x}}\neq {\vec {0}}$
2. negativ definit, falls $q({\vec {x}})<0\quad \forall {\vec {x}}\neq {\vec {0}}$
3. positiv semidefinit, falls $q({\vec {x}})\geq 0\quad \forall {\vec {x}}$
4. negativ semidefinit, falls $q({\vec {x}})\leq 0\quad \forall {\vec {x}}$
5. indefinit sonst.

Hauptminoren

Hauptminoren

Definition:

Die Determinanten der Teilmatrizen A_k einer quadratischen Matrix, die durch Streichung der n−k rechtesten Spalten und n−k untersten Zeilen entstehen, heißen Hauptminoren.

Wenn alle Hauptminoren einer symmetrischen quadratischen Matrix >0 sind, so ist die Matrix positiv definit.

Lösungsvorschlag

Aus der allgemeinen Lösung $q(x,y)=\left(x\ y\right){\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ folgt trivial $a=24$, $c=6$ und somit $A={\begin{pmatrix}24&b\\b&6\end{pmatrix}}$.

Damit die Matrix positiv definit ist, müssen alle Hauptminore > 0 sein. In diesem Fall:

$|A_{1}|=|24|=24>0$

${\begin{aligned}|A_{2}|=24\cdot 6-b\cdot b&>0\\24\cdot 6&>b\cdot b\\144&>b^{2}\\12&>b>-12\end{aligned}}$

Anmerkung

ich glaub b < 12 reicht, b > -12 is nicht notwendig (und sogar falsch). alles was negativ is wird ja durch den exponent wieder > 0 -thomas 17:29, 28. Okt. 2010 (CEST) für b=-13 gilt: 24*6-((-13)^2)=-25 und -25<0, daher muss b auch größer als -12 sein. --85.127.17.136 21:09, 28. Okt. 2010 (CEST)

Es muss auch nicht b^2>0 gelten sondern 144-b^2>0. Das ist bei negativen Zahlen bis 12 (exklusiv) gegeben. Sobald b <= -12 ist, ist die Gleichung 144-b^2>0 nichtmehr richtig. Deshalb ist das b>-12 notwendug. (Bsp -13: 144-(-13^2)>0 -> -25 > 0.)

da hab ich wohl eine klammer übersehen ;-) -thomas 00:37, 29. Okt. 2010 (CEST)

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 58 (ähnliches Beispiel)