TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 15

Gegeben sei die quadratische Form $q(\overrightarrow{x})=q(x,y)=24x^2+2bxy+6y^2$ mit $b\in ℝ$. Wie lautet die zugehörige symmetrische Matrix $A$, sodass $q(\overrightarrow{x})={\overrightarrow{x}}^{T}A\overrightarrow{x}$? Für welche Werte von $b$ ist die Form positiv definit?

Hilfreiches

Quadratische Form

Quadratische Form

Definition:

Die Quadratische Form aus einem Vektor $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ und einer symmetrischen quadratischen Matrix $A_n=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right),a_{ij}=a_{ji}\mathrm{\forall }i,j$ ist

$q(\overrightarrow{x})={\overrightarrow{x}}^{T}A\overrightarrow{x}=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$.

• Für z.B. den Fall n=2 ist also $q(x,y)=\left(xy\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2$.

Definitheit

Definitheit

Definition: Eine quadratische Form $q(\overrightarrow{x})={\overrightarrow{x}}^{T}A\overrightarrow{x}$ (bzw. die zugehörige symmetrische Matrix $A$) heißt:

1. positiv definit, falls $q(\overrightarrow{x})>0\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\ne \overrightarrow{0}$
2. negativ definit, falls $q(\overrightarrow{x})<0\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\ne \overrightarrow{0}$
3. positiv semidefinit, falls $q(\overrightarrow{x})\ge 0\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}$
4. negativ semidefinit, falls $q(\overrightarrow{x})\le 0\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}$
5. indefinit sonst.

Hauptminoren

Hauptminoren

Definition:

Die Determinanten der Teilmatrizen A_k einer quadratischen Matrix, die durch Streichung der n−k rechtesten Spalten und n−k untersten Zeilen entstehen, heißen Hauptminoren.

Wenn alle Hauptminoren einer symmetrischen quadratischen Matrix >0 sind, so ist die Matrix positiv definit.

Lösungsvorschlag

Aus der allgemeinen Lösung $q(x,y)=\left(xy\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2$ folgt trivial $a=24$, $c=6$ und somit $A=\left(\begin{array}{cc}24& b\\ b& 6\end{array}\right)$.

Damit die Matrix positiv definit ist, müssen alle Hauptminore > 0 sein. In diesem Fall:

$|A_1|=|24|=24>0$

$\begin{array}{cc}|A_2|=24\cdot 6-b\cdot b& >0\\ 24\cdot 6& >b\cdot b\\ 144& >b^2\\ 12& >b>-12\end{array}$

Anmerkung

ich glaub b < 12 reicht, b > -12 is nicht notwendig (und sogar falsch). alles was negativ is wird ja durch den exponent wieder > 0 -thomas 17:29, 28. Okt. 2010 (CEST) für b=-13 gilt: 24*6-((-13)^2)=-25 und -25<0, daher muss b auch größer als -12 sein. --85.127.17.136 21:09, 28. Okt. 2010 (CEST)

Es muss auch nicht b^2>0 gelten sondern 144-b^2>0. Das ist bei negativen Zahlen bis 12 (exklusiv) gegeben. Sobald b <= -12 ist, ist die Gleichung 144-b^2>0 nichtmehr richtig. Deshalb ist das b>-12 notwendug. (Bsp -13: 144-(-13^2)>0 -> -25 > 0.)

da hab ich wohl eine klammer übersehen ;-) -thomas 00:37, 29. Okt. 2010 (CEST)

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 58 (ähnliches Beispiel)