TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 474

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:
$W=\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}=0\right\}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösungsvorschlag von neo[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$W=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}=0\}$
$x^{2}+y^{2}=0\to (x^{2}=-(y^{2})\lor -(x^{2})=y^{2})\lor (x^{2}=0\land y^{2}=0)$
Da jede Zahl quadriert positiv ist, bleibt nur die Möglichkeit offen, dass beide Zahlen 0 sind.
${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\z+c\end{pmatrix}}\in W$
$\Rightarrow \,\,W$ ist bezüglich der Vektoraddition abgeschlossen

$\lambda {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda z\end{pmatrix}}\in W$
$\Rightarrow \,\,W$ ist bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen

$0^{2}+0^{2}=0\to {\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\in W$
$\Rightarrow \,\,W$ besitzt ein neutrales Element

$\Rightarrow \,\,W$ ist ein Teilraum

Geometrisch entspricht der Teilraum der z-Achse.

Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

$\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
$(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
$(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
$1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei $\quad \langle V,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in aU,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 18:04, 2. Mär. 2026 (CET) Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x^{2}+y^{2}=0\right\}$

Anmerkung: $W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x^{2}+y^{2}=0\right\}\colon \,x^{2}+y^{2}=0\iff x=y=0$ . D.h. in der $xy$ -Ebene handelt es sich um einen Punkt um die $xy$ -Achse. Da $z\in \mathbb {R}$ beliebig ist, entsteht ein Stab, der genau der $z$ -Achse entspricht.

Nicht leer:

$W\neq \emptyset$ , da ${\vec {0}}=(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,0)\,\in W$ , mit $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0\implies {\vec {0}}\in W$ .

Abgeschlossen bezüglich Addition:

Seien ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,x_{3}),\,{\vec {y}}=(y_{1},y_{2},y_{3})=(0,0,y_{3})\in W\implies {\vec {x}}+{\vec {y}}=(x_{1},x_{2},x_{3})+(y_{1},y_{2},y_{3})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3})=(0,0,x_{3}+y_{3})$ mit $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0\,\land \,y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=0,\,x_{3},y_{3}\in \mathbb {R}$ .

Daher ist

W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x^{2}+y^{2}=0\right\}

bezüglich der Addition abgeschlossen.

Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

Seien ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,x_{3})\in W,\,\lambda \in \mathbb {R} \implies \lambda \cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (x_{1},x_{2},x_{3})=(\lambda \cdot x_{1},\lambda \cdot x_{2},\lambda \cdot x_{3})=(0,0,\lambda \cdot x_{3})$ mit $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0\implies (\lambda \cdot x_{1})^{2}+(\lambda \cdot x_{2})^{2}=(\lambda )^{2}\cdot x_{1}^{2}+(\lambda )^{2}\cdot x_{2}^{2}=(\lambda ^{2})\cdot (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=(\lambda ^{2})\cdot 0=0\implies {\vec {x}}\in W$ .

Daher ist

W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x^{2}+y^{2}=0\right\}

bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Geometrische Interpretation: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=r^{2}$ ist in der Ebene bekanntlich ein Kreis mit dem Radius $r$ . Im Raum ist $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=r^{2}$ ein Kreis in der $xy$ -Ebene. Da der Radius $r=0$ ist, beschreibt diese Gleichung einen Punkt – vorab einmal den Ursprung (ohne Berücksichtigung der $z$ -Achse. Weiters ist die $z$ -Koordinate $x_{3}$ \in \R beliebig, also wird aus dem Punkt ein Stab, der genau der $z$ -Achse entspricht.

Die Menge $W$ reduziert sich auf:

W=\left\{(0,0,z)\,\mid \,z\in \mathbb {R} \right\}

Gesamtergebnis: $W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x^{2}+y^{2}=0\right\}$ . Da $W\neq \emptyset$ und abgeschlossen bezüglich der Addition, sowie abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation ist, folgt $W\leq V$ . Somit ist $W$ ein Untervektorraum von $V$ .