TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 470

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:
$W=\{(x,y,z)\,\mid \,x=2\cdot z\}$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösungsvorschlag von neo[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2z\\y\\z\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2c\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2(z+c)\\y+b\\z+c\end{pmatrix}}$
$\Rightarrow$ abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition

$\lambda \in \mathbb {R} :\lambda {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda x\\\lambda y\\\lambda z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\lambda z\\\lambda y\\\lambda z\end{pmatrix}}$
$\Rightarrow$ abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation

${\begin{pmatrix}2*0\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\in W$
$\Rightarrow$ enthält neutrales Element

$\Rightarrow$ Teilraum

Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

$\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
$(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
$(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
$1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei $\quad \langle V,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in aU,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 23:52, 2. Mär. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\,\mid \,x=2\cdot z\}$

Allgemeine Beurteilung: $y\in \mathbb {R}$ ist beliebig, d.h., dass alle Figuren entlang der $y$ -Richtungen gestreckt werden. Es gilt $x=2\cdot z$ , nach $z$ aufgelöst, gilt $z=(x/2)$ , eine Gerade durch den Ursprung ( $d=0$ ) mit der Steigung $k=(1/2)$ in der $x,z$ Ebene. Da $y$ beliebig ist, wird diese Gerade in den $y$ -Richtungen zu einer Ebene aufgespannt bzw. gestreckt.

Nicht leer:

$W\neq \emptyset$ , da ${\vec {0}}=(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,0)\,\in W$ , mit $x_{1}=2\cdot x_{3}\implies {\vec {0}}\in W$ .

Abgeschlossen bezüglich Addition:

Seien ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},(x_{1}/2)),\,{\vec {y}}=(y_{1},y_{2},(y_{1}/2))\in W\implies {\vec {x}}+{\vec {y}}=(x_{1},x_{2},(x_{1}/2))+(y_{1},y_{2},(y_{1}/2))=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},(1/2)\cdot (x_{1}+y_{1}))\implies ({\vec {x}}+{\vec {y}})\in W$ .

Daher ist

W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x=2\cdot z\right\}

bezüglich der Addition abgeschlossen.

Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

Seien ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},(x_{1}/2))\in W,\,\lambda \in \mathbb {R}$ .

\lambda \cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (x_{1},x_{2},(x_{1}/2))=(\lambda \cdot x_{1},\lambda \cdot x_{2},\lambda \cdot (x_{1}/2))=(\lambda \cdot x_{1},\lambda \cdot x_{2},(1/2)\cdot \lambda \cdot x_{1})\implies \lambda \cdot {\vec {x}}\in W

.

Daher ist

W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x=2\cdot z\right\}

bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Geometrische Interpretation: $y\in \mathbb {R}$ ist beliebig, d.h., dass alle Figuren entlang der $y$ -Richtungen gestreckt werden. Es gilt $x=2\cdot z$ , nach $z$ aufgelöst, gilt $z=(x/2)$ , eine Gerade durch den Ursprung ( $d=0$ ) mit der Steigung $k=(1/2)$ in der $xz$ Ebene. Da $y$ beliebig ist, wird diese Gerade in den $y$ -Richtungen zu einer Ebene aufgespannt bzw. gestreckt.

Die Menge $W$ reduziert sich auf:

W=\left\{(x,y,(x/2))\,\mid \,x,\,y\in \mathbb {R} \right\}

Gesamtergebnis: $W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x=2\cdot z\right\}$ . Da $W\neq \emptyset$ und abgeschlossen bezüglich der Addition, sowie abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation ist, folgt $W\leq V$ . Somit ist $W$ ein Untervektorraum von $\mathbb {R} ^{3}$ .