TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 472

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V={ℝ}^3$ über $ℝ$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\mid x\cdot y=0\}$

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Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Untervektorraum

Sei $⟨V,+,K⟩$ ein Vektorraum, $U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\ne \varnothing$
• $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in U⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• $\overrightarrow{x}\in aU,\lambda \in K⟹\lambda \overrightarrow{x}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 22:06, 2. Mär. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V={ℝ}^3$ über $ℝ$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\mid x\cdot y=0\}$

Allgemeine Beurteilung: $z\in ℝ$ ist beliebig, d.h., dass alle Figuren entlang der $z$-Richtungen gestreckt werden.

$x\cdot y=0⟺(x=0\wedge y\ne 0)\vee (x\ne 0\wedge y=0)\vee (x=0\wedge y=0)$.

$\begin{array}{cccccc}& \text{Fall }1& :& x=0\wedge y\ne 0& \to & y,z-\text{Ebene}\\ & \text{Fall }2& :& x\ne 0\wedge y=0& \to & x,z-\text{Ebene}\\ & \text{Fall }3& :& x=0\wedge y=0& \to & z-\text{Achse }\end{array}$

$⟹W=\{(x,y,z)\mid x\cdot y=0\}$ entspricht der $x,z$-Ebene $\cup y,z$-Ebene. Es entsteht eine Art Kreuz durch die aufgespannten Ebenen $x,z$ und $y,z$.

Nicht leer:

• $W\ne \mathrm{\varnothing }$, da $\overrightarrow{0}=(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0)\in W$, mit $x_1\cdot x_2=0⟹\overrightarrow{0}\in W$.

Abgeschlossen bezüglich Addition:

• Seien $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,x_3),\overrightarrow{y}=(y_1,y_2,y_3)\in W⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)$ mit

$x_1\cdot x_2=0\wedge y_1\cdot y_2=0x_3,y_3\in ℝ⟹(x_1+y_1)\cdot (x_2+y_2)$

Gegenbeispiel: Sei $\overrightarrow{x}=(1,0,0),\overrightarrow{y}=(0,1,0)⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)=(1,1,0)⟹1\cdot 1=1\ne 0$.

Daher ist $W=\{(x,y,z)\mid x\cdot y=0\}$ bezüglich der Addition $nicht$ abgeschlossen.

Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

• Seien $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,x_3)\in W,\lambda \in ℝ$.

$\lambda \cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (x_1,x_2,x_3)=(\lambda \cdot x_1,\lambda \cdot x_2,\lambda \cdot x_3)$ mit $x_1\cdot x_2=0⟹(\lambda \cdot x_1)\cdot (\lambda \cdot x_2)={\lambda }^2\cdot (x_1\cdot x_2)={\lambda }^2\cdot 0=0⟹(\lambda \cdot \overrightarrow{x})\in W$.

Daher ist $W=\{(x,y,z)\mid x\cdot y=0\}$ bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Geometrische Interpretation: $x_1\cdot x_2=0$:

$⟹W=\{(x,y,z)\mid x\cdot y=0\}$ entspricht der $xz$-Ebene $\cup yz$-Ebene. Es wird eine Art Kreuz in der $xz$ und $yz$-Ebene gebildet.

Gesamtergebnis: $W=\{(x,y,z)\mid x\cdot y=0\}$.

$⟨W,+,.⟩$ ist $kein$ Unterraum des ${ℝ}^3$ über $ℝ$. Die Menge $W$ ist zwar nicht leer ($W\ne \mathrm{\varnothing }$), die Addition ist $nicht$ abgeschlossen, dafür ist die Skalarmultiplikation abgeschlossen. $◼$.

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum

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