TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 472

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:
$W=\{(x,y,z)\,\mid \,x\cdot y=0\}$

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Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

$\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
$(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
$(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
$1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei $\quad \langle V,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in aU,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 22:06, 2. Mär. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\,\mid \,x\cdot y=0\}$

Allgemeine Beurteilung: $z\in \mathbb {R}$ ist beliebig, d.h., dass alle Figuren entlang der $z$ -Richtungen gestreckt werden.

x\cdot y=0\iff (x=0\,\land \,y\neq 0)\,\lor \,(x\neq 0\,\land \,y=0)\,\lor \,(x=0\,\land \,y=0)

.

{\begin{alignedat}{1}&{\text{Fall }}1&\colon \quad &x=0\,\land \,y\neq 0\quad &\to \quad &y,z-{\text{Ebene}}\\&{\text{Fall }}2&\colon \quad &x\,\neq 0\,\land \,y=0\quad &\to \quad &x,z-{\text{Ebene}}\\&{\text{Fall }}3&\colon \quad &x=0\,\land \,y=0\quad &\to \quad &z-{\text{Achse }}\end{alignedat}}

$\implies W=\{(x,y,z)\,\mid \,x\cdot y=0\}$ entspricht der $x,z$ -Ebene $\cup \,y,z$ -Ebene. Es entsteht eine Art Kreuz durch die aufgespannten Ebenen $x,z$ und $y,z$ .

Nicht leer:

$W\neq \emptyset$ , da ${\vec {0}}=(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,0)\,\in W$ , mit $x_{1}\cdot x_{2}=0\implies {\vec {0}}\in W$ .

Abgeschlossen bezüglich Addition:

Seien ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3}),\,{\vec {y}}=(y_{1},y_{2},y_{3})\in W\implies {\vec {x}}+{\vec {y}}=(x_{1},x_{2},x_{3})+(y_{1},y_{2},y_{3})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3})$ mit