TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 464

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Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V=ℝ3 über ℝ ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch:

W={(x,y,z)∣y=−z}

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Hilfreiches

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Untervektorraum
Untervektorraum[Bearbeiten, Wikipedia, 3.05 Definition]

Sei ⟨U,+,K⟩ ein Vektorraum, U⊆V heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • U≠∅
  • x→,y→∈U⟹x→+y→∈U(U ist abgeschlossen bezüglich U+U)
  • x→∈U,λ∈K⟹λx→∈U(U ist abgeschlossen bezüglich U⋅K)

Har203

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Vektorraum
Vektorraum[Bearbeiten, Wikipedia, 3.02 Definition]

Sei (V,+) eine abelsche Gruppe und K ein Körper. (V,+,K) heißt Vektorraum, wenn ∀x→,y→∈V,∀λ,μ∈K folgendes gilt:

  1. λ⋅(x→+y→)=λx→+λy→
  2. (λ+μ)⋅x→=λx→+μx
  3. (λ⋅μ)⋅x→=λ⋅(μx→)
  4. 1⋅x→=x→

Untervektorraum

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Sei ⟨V,+,K⟩ ein Vektorraum, U⊆V heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • U≠∅
  • x→,y→∈U⟹x→+y→∈U(U ist abgeschlossen bezüglich U+U)
  • x→∈aU,λ∈K⟹λx→∈U(U ist abgeschlossen bezüglich U⋅K)

Lösungsvorschlag von Har203

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--Har203 21:37, 3. Mär. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V=ℝ3 über ℝ ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch:

W={(x,y,z)∣y=−z}


Nicht leer:

  • W≠∅, da 0→=(0,0,0)∈W, da x→=(x1,x2,x3)=(0,0,0)⟹x2=−x3⟹x→∈W.


Abgeschlossen bezüglich Addition:

  • Seien x→=(x1,x2,−x2),y→=(y1,y2,−y2)∈W⟹x→+y→=(x1,x2,−x2)+(y1,y2,−y2)=(x1+y1,x2+y2,−(x2+y2))⟹x→+y→∈W.


Daher ist W={(x,y,z)∣y=−z} bezüglich der Addition abgeschlossen.


Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

  • Seien x→=(x1,x2,−x2)∈W,λ∈ℝ.
λ⋅x→=λ⋅(x1,x2,−x2)=(λ⋅x1,λ⋅x2,λ⋅(−x2))=(λ⋅x1,λ⋅x2,−λ⋅x2)⟹y=x2=−x3=−zλ⋅x→∈W.


Daher ist W={(x,y,z)∣x=−z} bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Geometrische Interpretation: W={(x,y,z)∣y=−z}: x∈ℝ ist beliebig. Das heißt, dass alle Figuren entlang der x-Richtungen gestreckt werden. Es gilt y=−z, also ist das die 2. Mediane in der yz-Ebene. Diese Gerade geht durch den Ursprung und teilt die Ebene im Winkel von −(π/4)=−45∘. Da x beliebig ist, wird diese Gerade in beide x-Richtungen zu einer Ebene erweitert.


Die Menge W reduziert sich auf:

W={(x,y,−y)∣x,y∈ℝ}


Gesamtergebnis: W={(x,y,z)∣y=−z}. Da W≠∅ und abgeschlossen bezüglich der Addition, sowie abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation ist, folgt W≤V. Somit ist W ein Untervektorraum von ℝ3.


Eine Basis des Unterraumes wäre: (1,0,0),(0,1,−1) und die Dimension des Unterraumes ist dim⁡(W)=2. ◼.

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Wikipedia:

Ähnliche Beispiele:

Weitere Beispiele:

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