TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 464

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:
$W=\{(x,y,z)\,\mid \,y=-z\}$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

$\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
$(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
$(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
$1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei $\;\langle V,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in aU,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 21:37, 3. Mär. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\,\mid \,y=-z\}$

Nicht leer:

$W\neq \emptyset$ , da ${\vec {0}}=(0,0,0)\,\in W$ , da ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,0)\implies x_{2}=-x_{3}\implies {\vec {x}}\in W$ .

Abgeschlossen bezüglich Addition:

Seien ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},-x_{2}),\,{\vec {y}}=(y_{1},y_{2},-y_{2})\in W\implies {\vec {x}}+{\vec {y}}=(x_{1},x_{2},-x_{2})+(y_{1},y_{2},-y_{2})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},-(x_{2}+y_{2}))\implies {\vec {x}}+{\vec {y}}\in W$ .

Daher ist $W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,y=-z\right\}$ bezüglich der Addition abgeschlossen.

Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

Seien ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},-x_{2})\in W,\,\lambda \in \mathbb {R}$ .

\lambda \cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (x_{1},x_{2},-x_{2})=(\lambda \cdot x_{1},\lambda \cdot x_{2},\lambda \cdot (-x_{2}))=(\lambda \cdot x_{1},\lambda \cdot x_{2},-\lambda \cdot x_{2})\implies y=x_{2}=-x_{3}=-z\lambda \cdot {\vec {x}}\in W

.

Daher ist $W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x=-z\right\}$ bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Geometrische Interpretation: $W=\{(x,y,z)\,\mid \,y=-z\}\,\colon$ $x\in \mathbb {R}$ ist beliebig. Das heißt, dass alle Figuren entlang der $x$ -Richtungen gestreckt werden. Es gilt $y=-z$ , also ist das die $2$ . Mediane in der $yz$ -Ebene. Diese Gerade geht durch den Ursprung und teilt die Ebene im Winkel von $-(\pi /4)=-45^{\circ }$ . Da $x$ beliebig ist, wird diese Gerade in beide $x$ -Richtungen zu einer Ebene erweitert.

Die Menge $W$ reduziert sich auf:

W=\left\{(x,y,-y)\,\mid \,x,\,y\in \mathbb {R} \right\}

Gesamtergebnis: $W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,y=-z\right\}$ . Da $W\neq \emptyset$ und abgeschlossen bezüglich der Addition, sowie abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation ist, folgt $W\leq V$ . Somit ist $W$ ein Untervektorraum von $\mathbb {R} ^{3}$ .