TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 409

Betrachten Sie die Gruppe $(ℂ\setminus \{0\},\cdot )$.

Sei $U=\{z\in ℂ\mid |z|=1\}$. Zeigen Sie, dass $U$ ein Normalteiler von $(ℂ\setminus \{0\},\cdot )$ ist.

Zeigen Sie weiters, dass $f:ℂ\setminus \{0\}\to ℂ\setminus \{0\},z\mapsto |z|$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Verwenden Sie diesen und den Homomorphiesatz, um eine zu $ℂ\setminus \{0\}/U$ isomorphe Untergruppe von $(ℂ\setminus \{0\},\cdot )$ zu finden.

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Hilfreiches

Untergruppe

Untergruppe

$U\subseteq G$ ist genau dann eine Untergruppe von $G$, wenn:

1. $U\ne \mathrm{\varnothing }$
2. $a,b\in U\Rightarrow a\circ b^{-1}\in U$

Normalteiler

Normalteiler

Eine Untergruppe $N\le G$ heißt Normalteiler, wenn stets die Äquivalenz zwischen der LNK (Linksnebenklasse, $a\circ N$) und der RNK (Rechtsnebenklasse, $N\circ a$) gilt, d.h.:

$\mathrm{\forall }a\in G:a\circ N=N\circ a$

Die Menge der Nebenklassen $\{a\circ N\mid a\in G\}$ bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe $G/N$.

Homomorphismus

Homomorphismus

Seien $(G,\circ )$ und $(H,\star )$ Gruppen.

Eine Abbildung $\phi :G\to H$ heißt Homomorphismus, falls gilt: $\phi (a\circ b)=\phi (a)\star \phi (b)\mathrm{\forall }a,b\in G$.

Homomorphiesatz

Homomorphiesatz

Sei $\phi :G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist die Faktorgruppe $G/\ker (\phi )$ zum Bild $\phi (G)$ isomorph:

$G/\ker (\phi )\cong \phi (G)$

Die Nebenklasse $a\circ \ker (\phi )\in G/\ker (\phi )$ entspricht dem Element $\phi (a)\in \phi (G)$ https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49552e555b2f4ebc190330520bc809aa5e075f4

Lösungsvorschlag von Piri

Es sind 3 Dinge zu zeigen:

(1) $U⊴G$

(2) $f$ ist ein Gruppenhomomorphismus

(3) Eine zu $ℂ\setminus \{0\}/U$ isomorphe Untergruppe von $(ℂ\setminus \{0\},\cdot )$ finden

(1) Zuerst zeigen wir dass $U\le G$ durch das Untergruppenkriterium:

Für $U$ gilt offensichtlicher Weise $U\ne \mathrm{\varnothing }$, daher gilt es nur mehr $s,w\in U\Rightarrow s\cdot w^{-1}\in U$ zu zeigen.

Lass $s=[1,\phi ],w=[1,\psi ]\in U$

$w^{-1}$ ist $\bar{w}$, da $w\cdot \bar{w}=[1,\psi ]\cdot [1,-\psi ]=1$

Dh. $z\cdot w^{-1}=[1,\phi ]\cdot [1,-\psi ]=[1,\phi -\psi ]\in U$

Damit ist $U\le G$ gezeigt.

Da die $\cdot$ Operation in $ℂ$ kommutativ ist, stimmen die Links- und Rechtsnebenklassen überein und daraus folgt $U⊴G$.

(2) Man kann für $f(z\cdot w)=f(z)\cdot f(w)$ einfach mal einsetzen:

$|z\cdot w|=|z|\cdot |w|$

Das stimmt offensichtlicher Weise für alle komplexen Zahlen und daher ist $f$ ein Homomorphismus

(3) Bei genauerer Überlegung sieht man, dass $U=ker(f)$, da $U$ alle komplexen Zahlen enthält die auf $1$ abgebildet werden und $1$ das neutrale Element der Multiplikation ist. Weiters sieht man, dass $f(G)={ℝ}^{+}$. Deswegen sagt uns der Homomorphiesatz dass $G/U\cong {ℝ}^{+}$.

Da $({ℝ}^{+},\cdot )\le (ℂ\setminus \{0\},\cdot )$, ist ${ℝ}^{+}$ unsere gesuchte Untergruppe.