TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 409

Betrachten Sie die Gruppe $(\mathbb {C} \setminus \{0\},\cdot )$.

Sei $U=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}$. Zeigen Sie, dass $U$ ein Normalteiler von $(\mathbb {C} \setminus \{0\},\cdot )$ ist.

Zeigen Sie weiters, dass $f:\mathbb {C} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {C} \setminus \{0\},z\mapsto |z|$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Verwenden Sie diesen und den Homomorphiesatz, um eine zu $\mathbb {C} \setminus \{0\}/U$ isomorphe Untergruppe von $(\mathbb {C} \setminus \{0\},\cdot )$ zu finden.

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Hilfreiches

Untergruppe

Untergruppe

$U\subseteq G$ ist genau dann eine Untergruppe von $G$, wenn:

1. $U\neq \emptyset$
2. $a,b\in U\Rightarrow a\circ b^{-1}\in U$

Normalteiler

Normalteiler

Eine Untergruppe $N\leq G$ heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. $aN=Na,\forall a\in G$. Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen $\{aN\mid a\in G\}$ bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe $G/N$.

Homomorphismus

Homomorphismus

Seien $(G,\circ )$ und $(H,\star )$ Gruppen.

Eine Abbildung $\varphi :G\rightarrow H$ heißt Homomorphismus, falls gilt: $\varphi (a\circ b)=\varphi (a)\star \varphi (b)\quad \forall a,b\in G$.

Homomorphiesatz

Homomorphiesatz

Sei $\varphi :G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist die Faktorgruppe $G/\ker(\varphi )$ zum Bild $\varphi (G)$ isomorph:

$G/\ker(\varphi )\cong \varphi (G)$

Die Nebenklasse $a\circ \ker(\varphi )\in G/\ker(\varphi )$ entspricht dem Element $\varphi (a)\in \varphi (G)$ https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49552e555b2f4ebc190330520bc809aa5e075f4

Lösungsvorschlag von Piri

Es sind 3 Dinge zu zeigen:

(1) $U\trianglelefteq G$

(2) $f$ ist ein Gruppenhomomorphismus

(3) Eine zu $\mathbb {C} \setminus \{0\}/U$ isomorphe Untergruppe von $(\mathbb {C} \setminus \{0\},\cdot )$ finden

(1) Zuerst zeigen wir dass $U\leq G$ durch das Untergruppenkriterium:

Für $U$ gilt offensichtlicher Weise $U\neq \emptyset$, daher gilt es nur mehr $s,w\in U\Rightarrow s\cdot w^{-1}\in U$ zu zeigen.

Lass $s=[1,\varphi ],w=[1,\psi ]\in U$

$w^{-1}$ ist ${\overline {w}}$, da $w\cdot {\overline {w}}=[1,\psi ]\cdot [1,-\psi ]=1$

Dh. $z\cdot w^{-1}=[1,\varphi ]\cdot [1,-\psi ]=[1,\varphi -\psi ]\in U$

Damit ist $U\leq G$ gezeigt.

Da die $\cdot$ Operation in $\mathbb {C}$ kommutativ ist, stimmen die Links- und Rechtsnebenklassen überein und daraus folgt $U\trianglelefteq G$.

(2) Man kann für $f(z\cdot w)=f(z)\cdot f(w)$ einfach mal einsetzen:

$|z\cdot w|=|z|\cdot |w|$

Das stimmt offensichtlicher Weise für alle komplexen Zahlen und daher ist $f$ ein Homomorphismus

(3) Bei genauerer Überlegung sieht man, dass $U=ker(f)$, da $U$ alle komplexen Zahlen enthält die auf $1$ abgebildet werden und $1$ das neutrale Element der Multiplikation ist. Weiters sieht man, dass $f(G)=\mathbb {R} ^{+}$. Deswegen sagt uns der Homomorphiesatz dass $G/U\cong \mathbb {R} ^{+}$.

Da $(\mathbb {R} ^{+},\cdot )\leq (\mathbb {C} \setminus \{0\},\cdot )$, ist $\mathbb {R} ^{+}$ unsere gesuchte Untergruppe.