TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 472

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $\mathbb {R} _{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch: $W=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}=0\}$

Lösungsvorschlag von neo

$W=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}=0\}$
$x^{2}+y^{2}=0\to (x^{2}=-(y^{2})\lor -(x^{2})=y^{2})\lor (x^{2}=0\land y^{2}=0)$
Da jede Zahl quadriert positiv ist, bleibt nur die Möglichkeit offen, dass beide Zahlen 0 sind.
${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\z+c\end{pmatrix}}\in W$ $\Rightarrow \,\,W$ ist bezüglich der Vektoraddition abgeschlossen

$\lambda {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda z\end{pmatrix}}\in W$
$\Rightarrow \,\,W$ ist bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen

$0^{2}+0^{2}=0\to {\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\in W$
$\Rightarrow \,\,W$ besitzt ein neutrales Element

$\Rightarrow \,\,W$ ist ein Teilraum

Geometrisch entspricht der Teilraum der z-Achse.