TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 453

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Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V=\mathbb{R}^3 über \mathbb{R} ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch:

W=\{(x, y, z)\in V\;|\;x=2y\}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Untervektorraum
Untervektorraum[Bearbeiten, WP, 3.05 Definition]

Sei \quad\langle U, +, K\rangle ein Vektorraum, \quad U\subseteq V heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • U\neq\varnothing
  • \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in U
\Longrightarrow\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U+U)
  • \overrightarrow{x}\in U, \lambda\in K
\Longrightarrow\lambda\overrightarrow{x}\in U
\quad(U ist abgeschlossen bezüglich U\cdot K)

Lösungsvorschlag von Berti[Bearbeiten]

1. Kriterium[Bearbeiten]

Kriterium 1 ist, dass W keine leere Menge sein darf. Da es aber offensichtlich eine Lösung für x = 2y, \forall x, y \in \R gibt, ist das Kriterium erfüllt.

Beispiel:


\begin{bmatrix}
   2  \\
   1  \\ 
   z     
\end{bmatrix}

2. Kriterium[Bearbeiten]

Kriterium 2 ist die Abgeschlossenheit bezüglich U + U. Da x + x = 2y + 2y = 4y nicht im Widerspruch zu 2 \cdot x = 2 \cdot 2y = 4y steht.

Beispiel:


\begin{bmatrix} 2 \\ 1  \\ z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 \\ 3 \\ 2 z \end{bmatrix}

3. Kriterium[Bearbeiten]

Kriterium 3 ist die Abgeschlossenheit bezüglich U \cdot K. Da \lambda x = \lambda 2 y nicht im Widerspruch zu \lambda x = 2 \lambda y steht:


\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ z \end{bmatrix} \cdot \lambda = \begin{bmatrix}2 \lambda \\ \lambda \\ \lambda z \end{bmatrix}

Geometrische Darstellung[Bearbeiten]

Am einfachsten lässt es sich so vorstellen:

Ich schaue genau von oben die z Achse nach unten. Dann bilden x und y Achse einen rechten Winkel. Der Unterraum läuft jetzt schräg mit einer Steigung von 2 wie eine Linie nach oben.

https://picload.org/image/rodalclo/plot.jpg

Unter Mac OS X ist das vorinstallierte Tool Grapher sehr praktisch um interaktive 2D und 3D Plots zu machen.

-- Berti933 (Diskussion) 19:16, 18. Jan. 2015 (CET)

Links[Bearbeiten]