TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 463

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:
$W=\{(x,y,z)\,\mid \,x=2\cdot y\}$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Berti[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kriterium 1 ist, dass $W$ keine leere Menge sein darf. Da es aber offensichtlich eine Lösung für $x=2y,\forall x,y\in \mathbb {R}$ gibt, ist das Kriterium erfüllt.

Beispiel:

${\begin{bmatrix}2\\1\\z\end{bmatrix}}$

2. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kriterium 2 ist die Abgeschlossenheit bezüglich $U+U$ . Da $x+x=2y+2y=4y$ nicht im Widerspruch zu $2\cdot x=2\cdot 2y=4y$ steht.

Beispiel:

${\begin{bmatrix}2\\1\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}4\\2\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6\\3\\2z\end{bmatrix}}$

3. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kriterium 3 ist die Abgeschlossenheit bezüglich $U\cdot K$ . Da $\lambda x=\lambda 2y$ nicht im Widerspruch zu $\lambda x=2\lambda y$ steht:

${\begin{bmatrix}2\\1\\z\end{bmatrix}}\cdot \lambda ={\begin{bmatrix}2\lambda \\\lambda \\\lambda z\end{bmatrix}}$

Anmerkung: muss man nicht noch die 4 Kriterien eines Vektorraums beweisen, die im Mathematik für Informatik Buch stehen? Es ist ja nicht automatisch gegeben, dass es abgeschlossene Teilmenge eines Vektorraums auch ein UnterRAUM ist. Müsste man dafür nicht auch die 4 Sachen beweisen?

Geometrische Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Am einfachsten lässt es sich so vorstellen:

Ich schaue genau von oben die z Achse nach unten. Dann bilden x und y Achse einen rechten Winkel. Der Unterraum läuft jetzt schräg mit einer Steigung von 2 wie eine Linie nach oben.

https://picload.org/image/rodalclo/plot.jpg

Unter Mac OS X ist das vorinstallierte Tool Grapher sehr praktisch um interaktive 2D und 3D Plots zu machen.

-- Berti933 (Diskussion) 19:16, 18. Jan. 2015 (CET)

Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

$\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
$(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
$(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
$1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei $\quad \langle V,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in aU,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 22:06, 3. Mär. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\,\mid \,x=2\cdot y\}$

Nicht leer:

$W\neq \emptyset$ , da ${\vec {0}}=(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,0)\,\in W$ , mit $x_{1}=2\cdot x_{2}\implies {\vec {0}}\in W$ .

Abgeschlossen bezüglich Addition:

Seien ${\vec {x}}=(x_{1},(x_{1}/2),x_{3}),\,{\vec {y}}=(y_{1},(y_{1}/2),y_{3})\in W\implies {\vec {x}}+{\vec {y}}=(x_{1},(x_{1}/2),x_{3})+(y_{1},(y_{1}/2),y_{3})=(x_{1}+y_{1},(1/2)\cdot (x_{1}+y_{1}),x_{3}+y_{3})\implies ({\vec {x}}+{\vec {y}})\in W$ .

Daher ist

W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x=2\cdot y\right\}

bezüglich der Addition abgeschlossen.

Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

Seien ${\vec {x}}=(x_{1},(x_{1}/2),x_{3})\in W,\,\lambda \in \mathbb {R}$ .

\lambda \cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (x_{1},(x_{1}/2),x_{3})=(\lambda \cdot x_{1},\lambda \cdot (x_{1}/2),\lambda \cdot x_{3}\implies

Gilt

\lambda \cdot x_{1}=2\cdot \lambda \cdot (x_{1}/2)=\lambda \cdot x_{1}\colon \,\mathbf {\color {green}{\text{Ja!}}} \implies (\lambda \cdot {\vec {x}})\in W

.

Das heißt , dass

W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x=2\cdot y\right\}

bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Geometrische Interpretation: $W=\{(x,y,z)\,\mid \,x=2\cdot y\}\colon$ $z\in \mathbb {R}$ ist beliebig, das heißt, dass alle Figuren entlang der $z$ -Richtungen gestreckt werden (ins $\pm$ Unendliche). Es gilt $x=2\cdot y$ , nach $z$ aufgelöst, gilt $y=(x/2)$ . Das ist eine Gerade durch den Ursprung ( $d=0$ ) mit der Steigung $k=(1/2)$ in der $xy$ -Ebene. Da $z$ beliebig ist, wird diese Gerade in den $z$ -Richtungen zu einer Ebene aufgespannt bzw. gestreckt.

Die Menge $W$ reduziert sich auf:

W=\left\{(x,(x/2),z)\,\mid \,x,\,z\in \mathbb {R} \right\}

Gesamtergebnis: Da $W\neq \emptyset$ und abgeschlossen bezüglich der Addition, sowie abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation ist, folgt $W\leq V$ . Somit ist $W$ ein Untervektorraum von $\mathbb {R} ^{3}$ .

Eine Basis des Unterraumes wäre: $b_{1}=(1,(1/2),0)$ und $b_{2}=(0,0,1)$ und die Dimension des Unterraumes ist $\dim(\,W\,)=2$ . $\qquad \qquad \blacksquare$ .

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wikipedia:

Ähnliche Beispiele:

Weitere Beispiele: