TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 461

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:
$W=\{(x,y,z)\in V\;|\;x=2y\}$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Berti[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kriterium 1 ist, dass $W$ keine leere Menge sein darf. Da es aber offensichtlich eine Lösung für $x=2y,\forall x,y\in \mathbb {R}$ gibt, ist das Kriterium erfüllt.

Beispiel:

${\begin{bmatrix}2\\1\\z\end{bmatrix}}$

2. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kriterium 2 ist die Abgeschlossenheit bezüglich $U+U$ . Da $x+x=2y+2y=4y$ nicht im Widerspruch zu $2\cdot x=2\cdot 2y=4y$ steht.

Beispiel:

${\begin{bmatrix}2\\1\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}4\\2\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6\\3\\2z\end{bmatrix}}$

3. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kriterium 3 ist die Abgeschlossenheit bezüglich $U\cdot K$ . Da $\lambda x=\lambda 2y$ nicht im Widerspruch zu $\lambda x=2\lambda y$ steht:

${\begin{bmatrix}2\\1\\z\end{bmatrix}}\cdot \lambda ={\begin{bmatrix}2\lambda \\\lambda \\\lambda z\end{bmatrix}}$

Anmerkung: muss man nicht noch die 4 Kriterien eines Vektorraums beweisen, die im Mathematik für Informatik Buch stehen? Es ist ja nicht automatisch gegeben, dass es abgeschlossene Teilmenge eines Vektorraums auch ein UnterRAUM ist. Müsste man dafür nicht auch die 4 Sachen beweisen?

Geometrische Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Am einfachsten lässt es sich so vorstellen:

Ich schaue genau von oben die z Achse nach unten. Dann bilden x und y Achse einen rechten Winkel. Der Unterraum läuft jetzt schräg mit einer Steigung von 2 wie eine Linie nach oben.

https://picload.org/image/rodalclo/plot.jpg

Unter Mac OS X ist das vorinstallierte Tool Grapher sehr praktisch um interaktive 2D und 3D Plots zu machen.

-- Berti933 (Diskussion) 19:16, 18. Jan. 2015 (CET)

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]