TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 464

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\in V\;|\;xy=0\}$

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Hilfreiches

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösung

Gegeben ist ein Vektorraum: $V=\mathbb {R} ^{3}$, $K=\mathbb {R}$, $+$, also mathematischer geschrieben: $(\mathbb {R} ^{3},+,\mathbb {R} )$

$W\leq V$, $W=\{(x,y,z)\mid xy=0\}$

Geometrisch beschrieben sind Vektoren in W sowohl in der Ebene XZ, als auch in der Ebene YZ und entlang der Z-Achse. $x=0\lor y=0$

Wie bei Untergruppen auch, muss bei einem Unterraum gelten, dass dieser in sich abgeschlossen ist, es muss also gelten: $a,b\in W\Rightarrow a+b\in W$

Wenn man nun aber die beiden Vektoren: ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ addiert, kommt der Vektor ${\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$ heraus und dieser liegt nicht in $W$. Daher ist $W$ nicht abgeschlossen und kein Vektorraum, und somit auch kein Unterraum.

x1 = {(x y z) | x = 0 und y <> 0} e W x2 = {(u v w) | u <> 0 und v = 0} e W a = x1 + x2 : es existiert ein a : a = { (x,y,z) | x<>0 und y<>0 } => a ne W => daraus folgt W kein Unterraum (aber ein Vektorraum ?)

Edit: Da abgeschlossenheit auch für einen Vektorraum gelten muss kann es auch kein Vektorraum sein. Anmerkung zum Edit: jein. Ein Unterraum ist definitionsgemäß ein Vektorraum. Kein Vektorraum => kein Unterraum. Text entsprechend korrigiert.

Links

• Diskussion & Lösung im UE-Forum WS06 Beispiel 485

Wikipädia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum
• Körper

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