TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 466

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Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V=ℝ3 über ℝ ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch:

W={(x,y,z)∈V|xy=0}


⟹ Dieses Beispiel ist genau das gleiche Beispiel wie Bsp. 472. Die Lösung befindet sich ebenfalls dort.

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Hilfreiches

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Untervektorraum
Untervektorraum[Bearbeiten, Wikipedia, 3.05 Definition]

Sei ⟨U,+,K⟩ ein Vektorraum, U⊆V heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • U≠∅
  • x→,y→∈U⟹x→+y→∈U(U ist abgeschlossen bezüglich U+U)
  • x→∈U,λ∈K⟹λx→∈U(U ist abgeschlossen bezüglich U⋅K)

Lösung

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Gegeben ist ein Vektorraum: V=ℝ3, K=ℝ, +, also mathematischer geschrieben: (ℝ3,+,ℝ)

W≤V, W={(x,y,z)∣xy=0}

Geometrisch beschrieben sind Vektoren in W sowohl in der Ebene XZ, als auch in der Ebene YZ und entlang der Z-Achse. x=0∨y=0

Wie bei Untergruppen auch, muss bei einem Unterraum gelten, dass dieser in sich abgeschlossen ist, es muss also gelten: a,b∈W⇒a+b∈W

Wenn man nun aber die beiden Vektoren: (100) und (010) addiert, kommt der Vektor (110) heraus und dieser liegt nicht in W. Daher ist W nicht abgeschlossen und kein Vektorraum, und somit auch kein Unterraum.

x1 = {(x y z) | x = 0 und y <> 0} e W x2 = {(u v w) | u <> 0 und v = 0} e W a = x1 + x2 : es existiert ein a : a = { (x,y,z) | x<>0 und y<>0 } => a ne W => daraus folgt W kein Unterraum (aber ein Vektorraum ?)

Edit: Da abgeschlossenheit auch für einen Vektorraum gelten muss kann es auch kein Vektorraum sein. Anmerkung zum Edit: jein. Ein Unterraum ist definitionsgemäß ein Vektorraum. Kein Vektorraum => kein Unterraum. Text entsprechend korrigiert.

Lösungsvorschlag von Har203

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--Har203 20:55, 3. Mär. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V=ℝ3 über ℝ ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch:

W={(x,y,z)∣x⋅y=0}


⟹ Dieses Beispiel ist genau das gleiche Beispiel wie Bsp. 472. Die Lösung befindet sich ebenfalls dort.

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Wikipedia:

Ähnliche Beispiele:

Weitere Beispiele:

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