TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 532

Sei G die Menge aller regulären $n\times n$ Matrizen A über $\mathbb {R}$. Man zeige, dass $\langle G,\cdot \rangle$ eine Gruppe bildet.

• Entspricht genau dem Bsp. 536, nur mit einer eingeschränkten Gruppe über $\mathbb {Q}$, die für den Beweis irrelevant ist.
• Angabe von 536: Sei $G$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $A$ über $\mathbb {R}$ mit $\det(A)\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}$. Man zeige, dass $\left\langle G,\cdot \right\rangle$ eine Gruppe bildet.

$\implies$ TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_536

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Hilfreiches

Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\rightarrow G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\exists e\in G:\forall a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• sowie besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a'$: $\forall a\in G:\exists a^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

Theoretische Grundlagen (Zusammenfassung von mnemetz)

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

1. Abgeschlossenheit: $G\times G=G$, für $a,b\in G\rightarrow a\circ b\in G$ (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das $\circ$ entspricht einer Funktion von $\circ :G\times G\rightarrow G$
2. Assoziativgesetz: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in G$.
3. Einheitselement: Es existiert ein $e\in G$, so dass für alle $a\in G$ gilt: $a\circ e=e\circ a=a$.
4. Inverses Element: Für jedes $a\in G$ gibt es ein inverses Element $a'\in G$ (oder auch $a^{-1}$) so, dass gilt $a\circ a'=a'\circ a=e$. Wobei das e das Einheitselement ist.
5. Kommutativgesetz: $a\circ b=b\circ a$ für alle $a,b\in G$.

  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Reguläre Matrix

Eine $n\times n$ Matrix $A$ heißt invertierbar bzw. regulär, wenn es eine $n\times n$ Matrix $B$ gibt mit $A\cdot B=B\cdot A=E_{n}$. Dabei ist $E_{n}$ die Einheitsmatrix. Die Matrix $A$ ist genau dann regulär bzw. invertierbar, wenn für die Determinante der Matrix gilt$\colon \,\det(A)\neq 0$.

Anders gesagt: Reguläre Matrizen sind invertierbare Matrizen - somit existiert das inverse Element. Das Gegenteil sind natürlich singuläre Matrizen - diese bilden nur ein Monoid!

Lösungsvorschlag von mnemetz

Abgeschlossenheit

$\forall A_{1},A_{2}{\text{ ueber }}\mathbb {R} :A_{1}\cdot A_{2}=A_{3}\rightarrow A_{3}{\text{ ueber }}\mathbb {R}$

Begründung der gegebenen Abgeschlossenheit: Bei der Multiplikation von Matrizen die über $\mathbb {R}$ stehen, werden nur die Operationen $+,\cdot$ ausgeführt, daher abgeschlossen.

Einfacher: Es ergibt sich wieder eine $n\times n$ Matrix!

Assoziativität

Seien gegeben: $A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},C={\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}$

Untersuche $A\cdot (B\cdot C)$

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\cdot ({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}}$

Untersuche $(A\cdot B)\cdot C$

$({\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}})\cdot {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}}$

Neutrales Element

$\exists E_{n}\forall A_{n}:E_{n}\cdot A_{n}=A_{n}\cdot E_{n}=A_{n}$

Neutrales Element in Gestalt der Einheitsmatrix gegeben.

Inverses Element

$\exists A_{n}^{-1}\forall A_{n}:A_{n}^{-1}\cdot A_{n}=A_{n}\cdot A_{n}^{-1}=E_{n}$

Inverses Element existiert. Man kann davon ausgehen, dass es für alle Matrizen in G jeweils eine inverse Matrix gibt, da in der Angabe G als die Menge aller regulären ... Matrizen festgelegt ist. Reguläre Matrix bedeutet per Definition, dass eine Matrix invertierbar ist.

Schlussfolgerung

Es liegt eine Gruppe vor!

Lösungsvorschlag von Har203

• Entspricht genau dem Bsp. 536, nur dort mit einer eingeschränkten Gruppe über $\mathbb {Q}$, die für den Beweis irrelevant ist.
• Angabe von 536: Sei $G$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $A$ über $\mathbb {R}$ mit $\det(A)\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}$. Man zeige, dass $\left\langle G,\cdot \right\rangle$ eine Gruppe bildet.

Reguläre Matrix

Eine $n\times n$ Matrix $A$ heißt regulär bzw. invertierbar, wenn eine $n\times n$ Matrix $B$ existiert mit $A\cdot B=B\cdot A=E_{n}$. Dabei ist $E_{n}$ die Einheitsmatrix. Die Matrix $A$ ist genau dann regulär bzw. invertierbar, wenn für die Determinante der Matrix $A$ gilt$\colon \,\det(A)\neq 0$.

Anders gesagt: Reguläre Matrizen sind invertierbare Matrizen - somit existiert das inverse Element. Das Gegenteil sind natürlich singuläre Matrizen - diese bilden nur ein Monoid!

In der Angabe vom Bsp. 536 werden die Determinanten auf $\det(\,A\,)\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}$ eingeschränkt. Die $\mathbf {0}$ für die Determinante wird ausgeschlossen, damit nur die regulären Matrizen überbleiben, also genau jene, die in diesem Beispiel vorgegeben werden.

Die Einschränkung auf die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ ist nur für die Auswahl einer speziellen Gruppe (mathematisch) interessant, hat auf den gesamten Beweis keinen Einfluss. Der Beweis würde auch mit komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ genauso ablaufen.

Im anderen Beispiel muss man nur $\mathbb {Q}$ durch $\mathbb {R}$ ersetzen.

$\implies$ TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_536

Links

Wikipedia:

• Gruppe
• Vektorraum
• Matrix
• Matrizenmultiplikation
• Determinante
• Determinantenproduktsatz
• Inverse Matrix

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