TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 534

Sei $G$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $A$ über $\mathbb {R}$ mit $\det(\,A\,)>0$. Man zeige, dass $\left\langle G,\cdot \right\rangle$ eine Gruppe bildet.

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Hilfreiches von Har203

Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\rightarrow G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\exists e\in G:\forall a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• sowie besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a'$: $\forall a\in G:\exists a^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

Reguläre Matrix

Eine $n\times n$ Matrix $A$ heißt regulär bzw. invertierbar, wenn eine $n\times n$ Matrix $B$ existiert mit $A\cdot B=B\cdot A=E_{n}$. Dabei ist $E_{n}$ die Einheitsmatrix. Die Matrix $A$ ist genau dann regulär bzw. invertierbar, wenn für die Determinante der Matrix $A$ gilt$\colon \,\det(A)\neq 0$.

Anders gesagt: Reguläre Matrizen sind invertierbare Matrizen - somit existiert das inverse Element. Das Gegenteil sind natürlich singuläre Matrizen - diese bilden nur ein Monoid!

Determinante der inversen Matrix

Für die inverse Matrix $A^{-1}$ einer quadratischen regulären Matrix $A$ gilt:

$\det \left(A^{-1}\right)={\frac {1}{\det(A)}}$.

Determinantenproduktsatz

Mit dem Determinantenproduktsatz gilt für die Determinante des Produkts zweier quadratischer Matrizen über einem kommutativen Ring:

$\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)=\det(B)\cdot \det(A)=\det(B\cdot A)$

Lösungsvorschlag von Har203

Sei $G$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $A$ über $\mathbb {R}$ mit $\det(\,A\,)>0$. Man zeige, dass $\left\langle G,\cdot \right\rangle$ eine Gruppe bildet.

Abgeschlossenheit

Die Menge $G$ ist nicht leer, da die Einheitsmatrix $E_{n}\in G$ ist. Die Multiplikation zweier $n\times n$-Matrizen über $\mathbb {R}$ bildet natürlich wieder eine $n\times n$-Matrix über $\mathbb {R}$.

Wir müssen noch für die Abgeschlossenheit zeigen, dass die Matrizenmultiplikation bezüglich der Eigenschaft $X,Y\in G$ mit $e=\det(\,X\,)$ und $f=\det(\,Y\,)$ mit $e,\,f\;>0\implies \det(\,X\cdot Y\,)$ auch wieder $>0\colon$

• Für quadratische Matrizen $X$ und $Y$ gleicher Größe $n\times n$ gilt nach dem Determinantenmultiplikationssatz:

$g=\det(\,X\cdot Y\,)=\det(\,X\,)\cdot \det(\,Y\,)=e\cdot f$.

Da $e$ und $f$ beide $>0\implies g=e\cdot f\,$ ebenfalls $>0\implies (X\cdot Y)\in G\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

Assoziativität

Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ, das heißt, für Matrizen $A\in R^{m\times n}$, $B\in R^{n\times p}$ und $C\in R^{p\times q}$ gilt:

$A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C.\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

Bei der Multiplikation mehrerer Matrizen ist es also unerheblich, in welcher Reihenfolge die Teilprodukte gebildet werden, solange die Gesamtreihung nicht verändert wird.

Neutrale Element

Die Einheitsmatrix $E_{n}$ ist eine $n\times n$-Matrix über $\mathbb {R}$ mit $\det(\,E_{n}\,)=1\;>0$. D.h. es gilt $E_{n}\in G$ und

$\forall \,X\in G\colon \,E_{n}\cdot X\,=\,X\cdot E_{n}\,=\,X.\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

Inverse Element

Die Inverse Matrix der quadratischen $n\times n$-Matrix $D$ existiert genau dann, wenn die Determinante $\neq 0$ ist. Diese Voraussetzung ist mit der Einschränkung $d=\det(\,D\,)\;>0$ erfüllt. Daraus folgt, dass die Determinante der inversen Matrix $\det(\,D^{-1}\,)={\frac {1}{d}}\;>0$ ist und somit auch $\in G$:

• Die inverse Matrix existiert, da $d=det(\,D\,)\;>0$ und somit $d\neq 0$ ist.

• Die Matrix $D^{-1}$ ist eine $n\times n$-Matrix aus $G$ über $\mathbb {R}$ mit $\det(\,D^{-1}\,)={\frac {1}{d}}\;>0$. D.h. die inverse Matrix ist ebenfalls in der Menge $G$ enthalten.$\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

$\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Gruppe
• Vektorraum
• Matrix
• Determinante
• Determinantenproduktsatz
• Inverse Matrix

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