TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 534

Sei $G$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $A$ über $\mathbb {R}$ mit $\det(\,A\,)>0$. Man zeige, dass $\left\langle G,\cdot \right\rangle$ eine Gruppe bildet.

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== Lösungsvorschlag von ~~~ ==
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Hilfreiches von Har203

Gruppe

Eine Gruppe ist ein geordnetes Paar $\left\langle G,\circ \right\rangle$ bestehend aus einer Menge $G$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung

$\circ \colon \,G\times G\to {G},\,(a,b)\mapsto {a}\circ b\,\in G\,,$

die „abgeschlossen“ ist (diese wichtige Voraussetzung zu prüfen wird oft bei algebraischen Strukturen übersehen)

$a,b\in G\implies \mathbf {a\circ b\in G}$

und, die die drei geforderten Gruppenaxiome erfüllt:

1. Assoziativität
   • $\forall \,a,b,c\,\in G$ gilt$\colon \;(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
2. Existenz eines neutralen Elementes
   • Es gibt ein neutrales Element $e\in G$ mit $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;a\circ e=e\circ a=a$ (falls dieses existiert, ist dieses eindeutig).
3. Für alle Gruppenelemente $a$ existent ein inverses Element
   • $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;\exists \,a^{-1}\in G$ mit$\colon \;a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$.

Matrizenmultiplikation

Mit dem Determinantenproduktsatz gilt für die Determinante des Produkts zweier quadratischer Matrizen über einem kommutativen Ring:

$\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)=\det(B)\cdot \det(A)=\det(B\cdot A)$

Lösungsvorschlag von Har203

Sei $G$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $A$ über $\mathbb {R}$ mit $\det(\,A\,)>0$. Man zeige, dass $\left\langle G,\cdot \right\rangle$ eine Gruppe bildet.

Abgeschlossenheit

Die Multiplikation zweier $n\times n$-Matrizen über $\mathbb {R}$ bildet natürlich wieder eine $n\times n$-Matrix über $\mathbb {R}$.

Wir müssen noch für die Abgeschlossenheit zeigen, dass die Matrizenmultiplikation bezüglich der Eigenschaft $X,Y\in G$ mit $e=\det(\,X\,)$ und $f=\det(\,Y\,)$ mit $e,\,f\;>0\implies \det(\,X\cdot Y\,)$ auch wieder $>0\colon$

• Für quadratische Matrizen $X$ und $Y$ gleicher Größe $n\times n$ gilt nach dem Determinantenmultiplikationssatz:

$g=\det(\,X\cdot Y\,)=\det(\,X\,)\cdot \det(\,Y\,)=e\cdot f$.

Da $e$ und $f$ beide $>0\implies g=e\cdot f\,$ ebenfalls $>0\implies (X\cdot Y)\in G\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

Assoziativität

Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ, das heißt, für Matrizen $A\in R^{m\times n}$, $B\in R^{n\times p}$ und $C\in R^{p\times q}$ gilt:

$A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C.\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

Bei der Multiplikation mehrerer Matrizen ist es also unerheblich, in welcher Reihenfolge die Teilprodukte gebildet werden, solange die Gesamtreihung nicht verändert wird.

Neutrale Element

Die Einheitsmatrix $E_{n}$ ist eine $n\times n$-Matrix über $\mathbb {R}$ mit $\det(\,E_{n}\,)=1\;>0$. D.h. es gilt $E_{n}\in G$ und

$\forall \,X\in G\colon \,E_{n}\cdot X\,=\,X\cdot E_{n}\,=\,X.\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

Inverse Element

Die Inverse Matrix der quadratischen $n\times n$-Matrix $D$ existiert genau dann, wenn die Determinante $\neq 0$ ist. Diese Voraussetzung ist mit der Einschränkung $d=\det(\,D\,)\;>0$ erfüllt. Daraus folgt, dass die Determinante der inversen Matrix $\det(\,D^{-1}\,)={\frac {1}{d}}\;>0$ ist und somit auch $\in G$:

• Die inverse Matrix existiert, da $d=det(\,D\,)\;>0$ und somit $d\neq 0$ ist.

• Die Matrix $D^{-1}$ ist eine $n\times n$-Matrix aus $G$ über $\mathbb {R}$ mit $\det(\,D^{-1}\,)={\frac {1}{d}}\;>0$. D.h. die inverse Matrix ist ebenfalls in der Menge $G$ enthalten.$\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

$\qquad \qquad \blacksquare$