TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 536

Sei $G$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $A$ über $\mathbb {R}$ mit $\det(A)\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}$. Man zeige, dass $\left\langle G,\cdot \right\rangle$ eine Gruppe bildet.

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Hilfreiches von Har203

Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\rightarrow G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\exists e\in G:\forall a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• sowie besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a'$: $\forall a\in G:\exists a^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

Reguläre Matrix

Eine $n\times n$ Matrix $A$ heißt regulär bzw. invertierbar, wenn eine $n\times n$ Matrix $B$ existiert mit $A\cdot B=B\cdot A=E_{n}$. Dabei ist $E_{n}$ die Einheitsmatrix. Die Matrix $A$ ist genau dann regulär bzw. invertierbar, wenn für die Determinante der Matrix $A$ gilt$\colon \,\det(A)\neq 0$.

Anders gesagt: Reguläre Matrizen sind invertierbare Matrizen - somit existiert das inverse Element. Das Gegenteil sind natürlich singuläre Matrizen - diese bilden nur ein Monoid!

Determinante der inversen Matrix

Für die inverse Matrix $A^{-1}$ einer quadratischen regulären Matrix $A$ gilt:

$\det \left(A^{-1}\right)={\frac {1}{\det(A)}}$.

Determinantenproduktsatz

Mit dem Determinantenproduktsatz gilt für die Determinante des Produkts zweier quadratischer Matrizen über einem kommutativen Ring:

$\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)=\det(B)\cdot \det(A)=\det(B\cdot A)$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 21:41, 6. Jan. 2026 (CET)

Sei $G$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $A$ über $\mathbb {R}$ mit $\det A\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}$. Man zeige, dass $\left\langle G,\cdot \right\rangle$ eine Gruppe bildet.

Anmerkung: Die Einschränkung der Determinante auf die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ statt $\mathbb {R} \,$ oder $\mathbb {C} \,$ ist in diesem Beispiel als Auswahl einer speziellen Gruppe interessant, nicht aber für den mathematischen Beweis. Dieser wäre mit $R$ bzw. $\mathbb {C}$ genau gleich.

Abgeschlossenheit

Die Menge $G$ ist nicht leer, da die Einheitsmatrix $E_{n}\in G$ ist. Die Multiplikation zweier $n\times n$-Matrizen über $\mathbb {R}$ bildet natürlich wieder eine $n\times n$-Matrix über $\mathbb {R}$.

Wir müssen noch für die Abgeschlossenheit zeigen, dass die Matrizenmultiplikation bezüglich der Eigenschaft $X,Y\in A$ mit $e=\det(\,X\,)$ und $f=\det(\,Y\,)$ mit $e,\,f\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}\implies \det(\,X\cdot Y\,)$ auch wieder $\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}\colon$

• Für quadratische Matrizen $X$ und $Y$ gleicher Größe $n\times n$ gilt nach dem Determinantenmultiplikationssatz:

1. $g=\det(\,X\cdot Y\,)=\det(\,X\,)\cdot \det(\,Y\,)=e\cdot f$.
2. $\det(\,\lambda \cdot X\,)=\lambda ^{n}\cdot \det(\,X\,)$ für eine $n\times n$ Matrix $X\,$ und eine Zahl $\lambda$.

Da $e$ und $f$ beide $\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}\implies g=e\cdot f\,$ ebenfalls $\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

Assoziativität

Sei $K$ ein Körper. Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ, das heißt, für Matrizen $A\in K^{m\times n}$, $B\in K^{n\times p}$ und $C\in K^{p\times q}$ gilt:

$A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C.\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

Bei der Multiplikation mehrerer Matrizen ist es also unerheblich, in welcher Reihenfolge die Teilprodukte gebildet werden, solange die Gesamtreihung nicht verändert wird.

Die Matrizenmultiplikation ist auch verträglich mit der Multiplikation mit Skalaren $\lambda \in K$, das heißt:

$\lambda \,(B\cdot C)=(\lambda \,B)\cdot C=B\cdot (\lambda \,C)$

Neutrale Element

Die Einheitsmatrix $E_{n}$ ist eine $n\times n$-Matrix über $\mathbb {R}$ mit $\det E_{n}=1\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}$. D.h. es gilt $E_{n}\in A$ und

$\forall \,X\in A\colon \,E_{n}\cdot X\,=\,X\cdot E_{n}\,=\,X.\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

Inverse Element

Die Inverse Matrix der quadratischen $n\times n$-Matrix $D$ existiert genau dann, wenn die Determinante $\neq 0$ ist. Diese Voraussetzung ist mit der Einschränkung $d=\det D\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}$ erfüllt und die Determinante der inversen Matrix $\det D^{-1}={\frac {1}{d}}\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}$ ist somit auch erfüllt:

• Die inverse Matrix existiert, da $d=detD\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}$ und somit $d\neq 0$ ist.

• Die Matrix $D^{-1}$ ist eine $n\times n$-Matrix aus $A$ über $\mathbb {R}$ mit $\det D^{-1}={\frac {1}{d}}\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}$.D.h. die inverse Matrix ist ebenfalls in der Menge $A$ enthalten.$\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

$\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Gruppe
• Vektorraum
• Matrix
• Determinante
• Determinantenproduktsatz
• Inverse Matrix

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