TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 536

Sei $G$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $A$ über $\mathbb {R}$ mit $\det(A)\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}$. Man zeige, dass $\left\langle G,\cdot \right\rangle$ eine Gruppe bildet.

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== Lösungsvorschlag von ~~~ ==
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Hilfreiches von Har203

Gruppe

Eine Gruppe ist ein geordnetes Paar $\left\langle G,\circ \right\rangle$ bestehend aus einer Menge $G$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung

$\circ \colon \,G\times G\to {G},\,(a,b)\mapsto {a}\circ b\,\in G\,,$

die „abgeschlossen“ ist (diese wichtige Voraussetzung zu prüfen wird oft bei algebraischen Strukturen übersehen)

$a,b\in G\implies \mathbf {a\circ b\in G}$

und, die die drei geforderten Gruppenaxiome erfüllt:

1. Assoziativität
   • $\forall \,a,b,c\,\in G$ gilt$\colon \;(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
2. Existenz eines neutralen Elementes
   • Es gibt ein neutrales Element $e\in G$ mit $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;a\circ e=e\circ a=a$ (falls dieses existiert, ist dieses eindeutig).
3. Für alle Gruppenelemente $a$ existent ein inverses Element
   • $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;\exists \,a^{-1}\in G$ mit$\colon \;a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$.

Matrizenmultiplikation

Mit dem Determinantenproduktsatz gilt für die Determinante des Produkts zweier quadratischer Matrizen über einem kommutativen Ring:

$\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)=\det(B)\cdot \det(A)=\det(B\cdot A)$

Anmerkung: Die Determinante des Produkts zweier nicht notwendigerweise quadratischer Matrizen kann mit dem Satz von Binet-Cauchy berechnet werden.

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 21:41, 6. Jan. 2026 (CET)

Sei $G$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $A$ über $\mathbb {R}$ mit $\det A\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}$. Man zeige, dass $\left\langle G,\cdot \right\rangle$ eine Gruppe bildet.

Anmerkung: Die Einschränkung der Determinante auf die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ statt $\mathbb {R} \,$ oder $\mathbb {C} \,$ ist in diesem Beispiel als Auswahl einer speziellen Gruppe interessant, nicht aber für den mathematischen Beweis. Dieser wäre mit $R$ bzw. $\mathbb {C}$ genau gleich.

Abgeschlossenheit

Die Multiplikation zweier $n\times n$-Matrizen über $\mathbb {R}$ bildet natürlich wieder eine $n\times n$-Matrix über $\mathbb {R}$.

Wir müssen noch für die Abgeschlossenheit zeigen, dass die Matrizenmultiplikation bezüglich der Eigenschaft $X,Y\in A$ mit $e=\det(\,X\,)$ und $f=\det(\,Y\,)$ mit $e,\,f\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}\implies \det(\,X\cdot Y\,)$ auch wieder $\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}\colon$

• Für quadratische Matrizen $X$ und $Y$ gleicher Größe $n\times n$ gilt nach dem Determinantenmultiplikationssatz:

1. $g=\det(\,X\cdot Y\,)=\det(\,X\,)\cdot \det(\,Y\,)=e\cdot f$.
2. $\det(\,\lambda \cdot X\,)=\lambda ^{n}\cdot \det(\,X\,)$ für eine $n\times n$ Matrix $X\,$ und eine Zahl $\lambda$.

Da $e$ und $f$ beide $\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}\implies g=e\cdot f\,$ ebenfalls $\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

Assoziativität

Sei $K$ ein Körper. Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ, das heißt, für Matrizen $A\in K^{m\times n}$, $B\in K^{n\times p}$ und $C\in K^{p\times q}$ gilt:

$A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C.\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

Bei der Multiplikation mehrerer Matrizen ist es also unerheblich, in welcher Reihenfolge die Teilprodukte gebildet werden, solange die Gesamtreihung nicht verändert wird.

Die Matrizenmultiplikation ist auch verträglich mit der Multiplikation mit Skalaren $\lambda \in K$, das heißt:

$\lambda \,(B\cdot C)=(\lambda \,B)\cdot C=B\cdot (\lambda \,C)$

Neutrale Element

Die Einheitsmatrix $E_{n}$ ist eine $n\times n$-Matrix über $\mathbb {R}$ mit $\det E_{n}=1\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}$. D.h. es gilt $E_{n}\in A$ und

$\forall \,X\in A\colon \,E_{n}\cdot X\,=\,X\cdot E_{n}\,=\,X.\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

Inverse Element

Die Inverse Matrix der quadratischen $n\times n$-Matrix $D$ existiert genau dann, wenn die Determinante $\neq 0$ ist. Diese Voraussetzung ist mit der Einschränkung $d=\det D\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}$ erfüllt und die Determinante der inversen Matrix $\det D^{-1}={\frac {1}{d}}\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}$ ist somit auch erfüllt:

• Die inverse Matrix existiert, da $d=detD\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}$ und somit $d\neq 0$ ist.

• Die Matrix $D^{-1}$ ist eine $n\times n$-Matrix aus $A$ über $\mathbb {R}$ mit $\det D^{-1}={\frac {1}{d}}\in \mathbb {Q} \setminus {\{0\}}$.D.h. die inverse Matrix ist ebenfalls in der Menge $A$ enthalten.$\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

$\qquad \qquad \blacksquare$