TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 474

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V={ℝ}^3$ über $ℝ$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=0\}$

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Lösungsvorschlag von neo

$W=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=0\}$
$x^2+y^2=0\to (x^2=-(y^2)\vee -(x^2)=y^2)\vee (x^2=0\wedge y^2=0)$
Da jede Zahl quadriert positiv ist, bleibt nur die Möglichkeit offen, dass beide Zahlen 0 sind.
$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ z+c\end{array}\right)\in W$
$\Rightarrow W$ ist bezüglich der Vektoraddition abgeschlossen

$\lambda \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \lambda z\end{array}\right)\in W$
$\Rightarrow W$ ist bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen

$0^2+0^2=0\to \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\in W$
$\Rightarrow W$ besitzt ein neutrales Element

$\Rightarrow W$ ist ein Teilraum

Geometrisch entspricht der Teilraum der z-Achse.

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Untervektorraum

Sei $⟨V,+,K⟩$ ein Vektorraum, $U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\ne \varnothing$
• $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in U⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• $\overrightarrow{x}\in aU,\lambda \in K⟹\lambda \overrightarrow{x}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 18:04, 2. Mär. 2026 (CET) Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V={ℝ}^3$ über $ℝ$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=0\}$

Anmerkung: $W=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=0\}:x^2+y^2=0⟺x=y=0$. D.h. in der $xy$-Ebene handelt es sich um einen Punkt um die $xy$-Achse. Da $z\in ℝ$ beliebig ist, entsteht ein Stab, der genau der $z$-Achse entspricht.

Nicht leer:

• $W\ne \mathrm{\varnothing }$, da $\overrightarrow{0}=(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0)\in W$, mit $x_1^2+x_2^2=0⟹\overrightarrow{0}\in W$.

Abgeschlossen bezüglich Addition:

• Seien $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,x_3)=(0,0,x_3),\overrightarrow{y}=(y_1,y_2,y_3)=(0,0,y_3)\in W⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)=(0,0,x_3+y_3)$ mit $x_1^2+x_2^2=0\wedge y_1^2+y_2^2=0,x_3,y_3\in ℝ$.

Daher ist $W=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=0\}$ bezüglich der Addition abgeschlossen.

Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

• Seien $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,x_3)=(0,0,x_3)\in W,\lambda \in ℝ⟹\lambda \cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (x_1,x_2,x_3)=(\lambda \cdot x_1,\lambda \cdot x_2,\lambda \cdot x_3)=(0,0,\lambda \cdot x_3)$ mit $x_1^2+x_2^2=0⟹(\lambda \cdot x_1{)}^2+(\lambda \cdot x_2{)}^2=(\lambda {)}^2\cdot x_1^2+(\lambda {)}^2\cdot x_2^2=({\lambda }^2)\cdot (x_1^2+x_2^2)=({\lambda }^2)\cdot 0=0⟹\overrightarrow{x}\in W$.

Daher ist $W=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=0\}$ bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Geometrische Interpretation: $x_1^2+x_2^2=r^2$ ist in der Ebene bekanntlich ein Kreis mit dem Radius $r$. Im Raum ist $x_1^2+x_2^2=r^2$ ein Kreis in der $xy$-Ebene. Da der Radius $r=0$ ist, beschreibt diese Gleichung einen Punkt – vorab einmal den Ursprung (ohne Berücksichtigung der $z$-Achse. Weiters ist die $z$-Koordinate $x_3$ \in \R beliebig, also wird aus dem Punkt ein Stab, der genau der $z$-Achse entspricht.

Die Menge $W$ reduziert sich auf:

$W=\{(0,0,z)\mid z\in ℝ\}$

Gesamtergebnis: $W=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=0\}$. Da $W\ne \mathrm{\varnothing }$ und abgeschlossen bezüglich der Addition, sowie abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation ist, folgt $W\le V$. Somit ist $W$ ein Untervektorraum von $V$.

Eine Basis des Unterraumes wäre: $(0,0,1)$. Die Dimension des Unterraumes ist $\dim (W)=1$. $◼$.

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum

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