TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 512

Sei $V=\{f\mid f:ℝ\to ℝ\}$ der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen.

Untersuchen Sie, ob $f$ und $g$ mit $f(x)=\cos (x)$ und $g(x)=e^7$ linear unabhängig sind.

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Hilfreiches von Har203

Lineare Abhängigkeit

Eine Menge $M$ an Vektoren $\{\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}\}$ heißt linear abhängig, wenn gilt:

$\mathrm{\exists }\overrightarrow{l}=({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)\ne \overrightarrow{0_n},{\lambda }_i\in 𝕂$ mit ${\lambda }_1\cdot \overrightarrow{x_1}+{\lambda }_2\cdot \overrightarrow{x_2}+\dots +{\lambda }_n\cdot \overrightarrow{x_n}=\overrightarrow{0}$.

Es existiert eine Linearkombination aus der Menge $M$, die den Nullvektor $\overrightarrow{0_n}$ ergibt, wobei nicht alle ${\lambda }_i=0$ sind - eine oder mehrere sogenannte nicht triviale Lösungen existieren.

Lineare Abhängigkeit Funktion

Sei $V$ der Vektorraum aller Funktionen $f:ℝ\to ℝ$. Die beiden Funktionen ${\mathrm{e}}^t$ und ${\mathrm{e}}^{2t}$ in $V$ sind linear unabhängig.

$[1]$ Ekzerpt aus dem Originalartikel Lineare Unabhängigkeit: Funktionen als Vektoren

Lösungsvorschlag von Har203

Sei $V=\{f\mid f:ℝ\to ℝ\}$ der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen.

Untersuchen Sie, ob $f$ und $g$ mit $f(x)=\cos (x)$ und $g(x)=e^7$ linear unabhängig sind.

Für eine lineare Unabhängigkeit der beiden vorgegebenen reellwertigen Funktionen darf die folgende Gleichung nur die triviale Lösung (${\lambda }_1={\lambda }_2=0$) haben:

${\lambda }_1\cdot f(x)+{\lambda }_2\cdot g(x)=0,{\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℝ,\mathrm{\forall }x\in ℝ⟹{\lambda }_1\cdot \cos (x)+{\lambda }_2{\mathrm{e}}^7=0$.

Einsetzen von Werten

Wir können gleich Werte in die Gleichung einzusetzen, da diese Gleichung für alle $x\in ℝ$ gelten muss. Wir werden die Werte $x\in \{-\pi /2,0,\pi /2,\pi \}$ einsetzen:

$\begin{array}{cccccc}& (x=0):& {\lambda }_1\cdot \cos (x)+{\lambda }_2{\mathrm{e}}^7=0& ⟹{\lambda }_1\cdot 1& ={\lambda }_2\cdot e^7⟹{\lambda }_1={\lambda }_2\cdot e^7,& {\lambda }_2=\frac{{\lambda }_1}{e^7}\\ & (x=-\pi /2):& {\lambda }_1\cdot \cos (x)+{\lambda }_2{\mathrm{e}}^7=0& ⟹{\lambda }_1\cdot 0& ={\lambda }_2\cdot e^7⟹{\lambda }_2=0,& {\lambda }_1\in ℝ\\ & (x=\pi /2):& {\lambda }_1\cdot \cos (x)+{\lambda }_2{\mathrm{e}}^7=0& ⟹{\lambda }_1\cdot 0& ={\lambda }_2\cdot e^7⟹{\lambda }_2=0,& {\lambda }_1\in ℝ\\ & (x=\pi ):& {\lambda }_1\cdot \cos (x)+{\lambda }_2{\mathrm{e}}^7=0& ⟹{\lambda }_1\cdot (-1)& ={\lambda }_2\cdot e^7⟹{\lambda }_1=-{\lambda }_2\cdot e^7,& {\lambda }_2=-\frac{{\lambda }_1}{e^7}\\ \end{array}$

Nach Einsetzen der Werte in die Gleichung erhalten wir folgende Werte für ${\lambda }_1$ bzw. ${\lambda }_2$:

$\begin{array}{ccccccc}& {\lambda }_1& ={\lambda }_2\cdot e^7& \wedge & {\lambda }_1& =-{\lambda }_2\cdot e^7& ⟹{\lambda }_2=0\\ & {\lambda }_2& =\frac{{\lambda }_1}{e^7}& \wedge & {\lambda }_2& =-\frac{{\lambda }_1}{e^7}& ⟹{\lambda }_1=0\\ \end{array}$

• Daraus folgt, dass nur die triviale Lösung existiert mit

${\lambda }_1={\lambda }_2=0$

$⟹$ D.h. die beiden Funktionen sind linear unabhängig. $◼$

Links

Wikipedia:

• Lineare Unabhängigkeit

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