TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 512

Sei $V=\{f\mid f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \}$ der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen.
Untersuchen Sie, ob $f$ und $g$ mit $f(x)=\cos(x)$ und $g(x)=e^{7}$ linear unabhängig sind.

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Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lineare Abhängigkeit

Eine Menge $M$ an Vektoren $\lbrace {\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\ldots ,{\vec {x_{n}}}\rbrace$ heißt linear abhängig, wenn gilt:

\exists \,{\vec {l}}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}\right)\neq {\vec {0_{n}}},\,\lambda _{i}\in \mathbb {K}

mit

\,\lambda _{1}\cdot {\vec {x_{1}}}+\lambda _{2}\cdot {\vec {x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}\cdot {\vec {x_{n}}}={\vec {0}}

.

Es existiert eine Linearkombination aus der Menge $M$ , die den Nullvektor ${\vec {0_{n}}}$ ergibt, wobei nicht alle $\lambda _{i}=0$ sind - eine oder mehrere sogenannte nicht triviale Lösungen existieren.

Lineare Abhängigkeit Funktion

Sei $V$ der Vektorraum aller Funktionen $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ . Die beiden Funktionen $\mathrm {e} ^{t}$ und $\mathrm {e} ^{2t}$ in $V$ sind linear unabhängig.

$[1]$ Ekzerpt aus dem Originalartikel Lineare Unabhängigkeit: Funktionen als Vektoren

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei $V=\{f\mid f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \}$ der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen.

Untersuchen Sie, ob $f$ und $g$ mit $f(x)=\cos(x)$ und $g(x)=e^{7}$ linear unabhängig sind.

Für eine lineare Unabhängigkeit der beiden vorgegebenen reellwertigen Funktionen darf die folgende Gleichung nur die triviale Lösung ( $\lambda _{1}=\lambda _{2}=0$ ) haben:

\lambda _{1}\cdot f(x)+\lambda _{2}\cdot g(x)=0,\;\lambda _{1},\,\lambda _{2}\in \mathbb {R} ,\,\forall \,x\in \mathbb {R} \implies \lambda _{1}\cdot \cos(x)+\lambda _{2}\operatorname {e} ^{7}=0

.

Einsetzen von Werten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir können gleich Werte in die Gleichung einzusetzen, da diese Gleichung für alle $x\,\in \mathbb {R}$ gelten muss. Wir werden die Werte $x\in \{-\pi /2,\,0,\,\pi /2,\pi \}$ einsetzen:

${\begin{alignedat}{1}&(x=0):&\lambda _{1}\cdot \cos(x)+\lambda _{2}\operatorname {e} ^{7}=0&\implies \lambda _{1}\cdot 1\,&=\lambda _{2}\cdot e^{7}\implies \lambda _{1}=\lambda _{2}\cdot e^{7},\ &\lambda _{2}={\frac {\lambda _{1}}{e^{7}}}\\&(x=-\pi /2):&\lambda _{1}\cdot \cos(x)+\lambda _{2}\operatorname {e} ^{7}=0&\implies \lambda _{1}\cdot 0\,&=\lambda _{2}\cdot e^{7}\implies \lambda _{2}=0,\ &\lambda _{1}\in \mathbb {R} \\&(x=\pi /2):&\lambda _{1}\cdot \cos(x)+\lambda _{2}\operatorname {e} ^{7}=0&\implies \lambda _{1}\cdot 0\,&=\lambda _{2}\cdot e^{7}\implies \lambda _{2}=0,\ &\lambda _{1}\in \mathbb {R} \\&(x=\pi ):&\lambda _{1}\cdot \cos(x)+\lambda _{2}\operatorname {e} ^{7}=0&\implies \lambda _{1}\cdot (-1)\,&=\lambda _{2}\cdot e^{7}\implies \lambda _{1}=-\lambda _{2}\cdot e^{7},\ &\lambda _{2}=-{\frac {\lambda _{1}}{e^{7}}}\\\end{alignedat}}$

Nach Einsetzen der Werte in die Gleichung erhalten wir folgende Werte für $\lambda _{1}$ bzw. $\lambda _{2}$ :

${\begin{alignedat}{1}&\lambda _{1}&=\lambda _{2}\cdot e^{7}\quad &\land \quad &\lambda _{1}&=-\lambda _{2}\cdot e^{7}&\implies \lambda _{2}=0\\&\lambda _{2}&={\frac {\lambda _{1}}{e^{7}}}\quad &\land \quad &\lambda _{2}&=-{\frac {\lambda _{1}}{e^{7}}}&\implies \lambda _{1}=0\\\end{alignedat}}$