TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 513

Sei $V=\{f\mid f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \}$ der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen.

Untersuchen Sie, ob $f,\,g$ und $h$ mit $f(x)=\operatorname {e} ^{-x},\,g(x)=\operatorname {e} ^{x}$ und $h(x)=x\cdot \operatorname {e} ^{x}$ linear unabhängig sind.

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Hilfreiches von Har203

Lineare Abhängigkeit

Eine Menge $M$ an Vektoren $\lbrace {\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\ldots ,{\vec {x_{n}}}\rbrace$ heißt linear abhängig, wenn gilt:

$\exists \,{\vec {l}}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}\right)\neq {\vec {0_{n}}},\,\lambda _{i}\in \mathbb {K}$ mit $\,\lambda _{1}\cdot {\vec {x_{1}}}+\lambda _{2}\cdot {\vec {x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}\cdot {\vec {x_{n}}}={\vec {0}}$.

Es existiert eine Linearkombination aus der Menge $M$, die den Nullvektor ${\vec {0_{n}}}$ ergibt, wobei nicht alle $\lambda _{i}=0$ sind - eine oder mehrere sogenannte nicht triviale Lösungen existieren.

Lineare Abhängigkeit Funktion

Sei $V$ der Vektorraum aller Funktionen $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Die beiden Funktionen $\mathrm {e} ^{t}$ und $\mathrm {e} ^{2t}$ in $V$ sind linear unabhängig.

$[1]$ Ekzerpt aus dem Originalartikel Lineare Unabhängigkeit: Funktionen als Vektoren

Lösungsvorschlag von Har203

Sei $V=\{f\mid f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \}$ der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen.

Untersuchen Sie, ob $f,\,g$ und $h$ mit $f(x)=\operatorname {e} ^{-x},\,g(x)=\operatorname {e} ^{x}$ und $h(x)=x\cdot \operatorname {e} ^{x}$ linear unabhängig sind.

Für eine lineare Unabhängigkeit der drei vorgegebenen reellwertigen Funktionen darf die folgende Gleichung nur die triviale Lösung ($\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=0$) haben:

$\lambda _{1}\cdot f(x)+\lambda _{2}\cdot g(x)+\lambda _{3}\cdot h(x)=0,\;\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\lambda _{3}\in \mathbb {R} ,\,\forall \,x\in \mathbb {R} \implies \lambda _{1}\cdot \operatorname {e} ^{-x}+\lambda _{2}\cdot \operatorname {e} ^{x}+\lambda _{3}\cdot x\cdot \operatorname {e} ^{x}=0$.

Bevor wir beginnen spezielle Werte in die Gleichung einzusetzen, schauen wir uns noch die allgemeine Gleichung an:

• Zuerst werden wir die Gleichung umformen:

${\begin{alignedat}{1}&\lambda _{1}\cdot \operatorname {e} ^{-x}+\lambda _{2}\cdot \operatorname {e} ^{x}+\lambda _{3}\cdot x\cdot \operatorname {e} ^{x}=0\implies \lambda _{2}\cdot \operatorname {e} ^{x}+\lambda _{3}\cdot x\cdot \operatorname {e} ^{x}=-\lambda _{1}\cdot \operatorname {e} ^{-x}=-{\frac {\lambda _{1}}{\operatorname {e} ^{x}}}\implies \\&\implies \lambda _{2}+\lambda _{3}\cdot x=-{\frac {\lambda _{1}}{\operatorname {e} ^{2\cdot x}}}\implies \lambda _{2}=-{\frac {\lambda _{1}}{\operatorname {e} ^{2\cdot x}}}-\lambda _{3}\cdot x\implies {\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{3}}}=\left(-{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{3}}}\right)\cdot \operatorname {e} ^{-2\cdot x}-x\end{alignedat}}$

• Anmerkung: Nenner ${\color {green}\lambda _{3}=0}\colon \,$

${\begin{alignedat}{1}&\lambda _{1}\cdot \operatorname {e} ^{-x}+\lambda _{2}\cdot \operatorname {e} ^{x}+0\cdot x\cdot \operatorname {e} ^{x}=0\implies \lambda _{1}\cdot \operatorname {e} ^{-x}=-\lambda _{2}\cdot \operatorname {e} ^{x}&\implies \lambda _{1}&=(-\lambda _{2})\cdot \operatorname {e} ^{2\cdot x}\implies \\&\left(-{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)=\operatorname {e} ^{2\cdot x}\implies {\text{ neue Konstante }}c_{1}=-{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\in \mathbb {R} &\implies c_{1}&=\operatorname {e} ^{2\cdot x},{\text{ mit }}\,c_{1}\in \mathbb {R} \end{alignedat}}$

Anmerkung: Dass $c_{1}=\operatorname {e} ^{2\cdot x}$ für eine Konstante $c_{1}\in \mathbb {R}$ keine Lösung hat, ist eigentlich klar. Nur wir müssen es auch beweisen.

Anmerkung: Für $\lambda _{2}=0$ erhalten wir $\lambda _{1}\cdot \operatorname {e} ^{-x}=0$, also nur die triviale Lösung $\lambda _{1}=0$, da $\forall \,x\in \mathbb {R}$ gilt$\colon \,\operatorname {e} ^{-x}>0,$.

Für $\lambda _{2}\neq 0$ ist die Gleichung gültig und, da die Gleichung für alle $x\in \mathbb {R}$ gelten muss, setzen wir für $x=0$ und $x=1$ ein:

$*\ x=0\colon \,c_{1}=\operatorname {e} ^{2\cdot 0}=1\implies {\color {red}c_{1}=1}\quad \land \quad *\ x=1\colon \,{\color {red}c_{1}=e^{2}}\implies {\color {red}e^{2}\neq 1}\implies {\color {red}{\text{Widerspruch:}}}$, da die Gleichung für alle $x\in \mathbb {R}$ gelten muss.

$\implies$ Dass bei $\,{\color {green}\lambda _{3}=0}\implies {\color {green}\lambda _{2}=\lambda _{1}=0}$ nur die triviale Lösung möglich ist.

• Wir fahren jetzt mit unserer oben begonnenen Umformung der allgemeinen Gleichung fort. Wir ersetzen im ersten Schritt wieder die kombinierten Konstanten zu einer resultierenden

$c_{2}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{3}}},\,c_{3}=-{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{3}}},\,$ mit $c_{2},\,c_{3}\in \mathbb {R}$ und schreiben die allgemeine Gleichung um:

${\begin{alignedat}{1}&{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{3}}}=\left(-{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{3}}}\right)\cdot \operatorname {e} ^{-2\cdot x}-x\implies {\color {blue}c_{2}+x=c_{3}\cdot \operatorname {e} ^{-2\cdot x}}\end{alignedat}}$

• Am Einfachsten wird es sein, in die Gleichung $x$-Werte einzusetzen und dann einen Widerspruch zu erhalten, sodass nur die triviale Lösung als Ergebnis resultiert.

Anmerkung: Wir dürfen nicht übersehen, dass $c_{2}$ direkt von $\lambda _{2}$ und $c_{3}$ direkt von $\lambda _{1}$ abhängt. Es könnten dadurch Lösungen übersehen werden bzw. hinzukommen. Hier führt $c_{2}=c_{3}=0$ zu keiner Lösung.

${\begin{alignedat}{1}&(x=0)\colon \,c_{2}+x=c_{3}\cdot \operatorname {e} ^{-2\cdot x}&\implies c_{2}+0=c_{3}\cdot e^{0}&\implies {\color {red}c_{2}=c_{3}}\\&(x=1)\colon \,c_{2}+x=c_{3}\cdot \operatorname {e} ^{-2\cdot x}&\implies c_{2}+1=c_{3}\cdot e^{-2}&\implies {\color {red}c_{2}=c_{3}\cdot e^{2}-1}\implies c_{2}\colon \ {\color {red}c_{3}\cdot e^{2}-1\neq c_{3}\qquad {\text{Widerspruch}}}\qquad \blacksquare .\end{alignedat}}$

$\implies$ Daraus folgt, dass nur die triviale Lösung existiert.

• Wir können aber einen Schritt weitergehen und die beiden Ausdrücke auf der linken und rechten Seite der Gleichung weiter analysieren:

Sei $p(x)=x$ und $q(x)=c_{3}\cdot \operatorname {e} ^{-2\cdot x}-c_{2}$. Das heißt, dass beide Funktionen $p(x)=q(x),\,\forall \,x\in \mathbb {R}$ gelten muss, also beide Funktionen gleich sein müssen. Das heißt weiters natürlich, da beide Funktionen in $p(x)=q(x),\,\forall \,x\in \mathbb {R}$ gleich sind, dass auch deren Ableitungen von $p'(x)=q'(x),\,\forall \,x\in \mathbb {R}$ gleich sein müssen. Es gilt dann

$p(x)=x\implies {\color {green}p'(x)=1},\,\forall \,x\in \mathbb {R}$.

Für $q(x)$ bilden wir ebenfalls die Ableitung:

$q(x)=c_{3}\cdot \operatorname {e} ^{-2\cdot x}-c_{2}\implies {\color {green}q'(x)=(-2)\cdot c_{3}\cdot \operatorname {e} ^{-2\cdot x}}$

Wenn wir $p'(x)=1,\,\forall \,x\in \mathbb {R}$ und $q'(x)$ vergleichen, dann muss $q'(x)=1,\,\forall \,x\in \mathbb {R}$ sein. Das werden wir jetzt widerlegen, indem wir für $x=0$ und $x=1$ einsetzen:

${\begin{alignedat}{1}&(x=0)\colon \,q'(x)&=(-2)\cdot c_{3}\cdot \operatorname {e} ^{-2\cdot x}&=(-2)\cdot c_{3}\cdot e^{0}&=(-2)\cdot c_{3}\cdot 1&\implies p'(0)&=1\colon \,&{\color {red}c_{3}=-{\frac {1}{2}}}\\&(x=1)\colon \,q'(x)&=(-2)\cdot c_{3}\cdot \operatorname {e} ^{-2\cdot x}&=(-2)\cdot c_{3}\cdot e^{-2}&=(-2)\cdot c_{3}{\frac {1}{e^{2}}}&\implies p'(1)&=1\colon \,&{\color {red}c_{3}=-{\frac {e^{2}}{2}}}\implies {\color {red}-{\frac {1}{2}}\neq -{\frac {e^{2}}{2}}\qquad {\text{Widerspruch}}}\qquad \qquad \blacksquare \end{alignedat}}$

• Daraus folgt, dass nur die triviale Lösung existiert mit

$\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=0$

$\implies$ D.h. die drei Funktionen sind linear unabhängig.

Links

Wikipedia:

• Lineare Unabhängigkeit

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