TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 515

Sei $V=\{f\,\vert \,f\colon \,\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \}$ der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen.

Untersuchen Sie, ob $f,\,g$ und $h$ mit $f(x)=1$, $g(x)=e^{2}$ und $h(x)=\operatorname {e} ^{3\cdot x}$ linear unabhängig sind.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches von Har203

Lineare Abhängigkeit

Eine Menge $M$ an Vektoren $\lbrace {\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\ldots ,{\vec {x_{n}}}\rbrace$ heißt linear abhängig, wenn gilt:

$\exists \,{\vec {l}}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}\right)\neq {\vec {0_{n}}},\,\lambda _{i}\in \mathbb {K}$ mit $\,\lambda _{1}\cdot {\vec {x_{1}}}+\lambda _{2}\cdot {\vec {x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}\cdot {\vec {x_{n}}}={\vec {0}}$.

Es existiert eine Linearkombination aus der Menge $M$, die den Nullvektor ${\vec {0_{n}}}$ ergibt, wobei nicht alle $\lambda _{i}=0$ sind - eine oder mehrere sogenannte nicht triviale Lösungen existieren.

Lineare Abhängigkeit Funktion

Sei $V$ der Vektorraum aller Funktionen $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Die beiden Funktionen $\mathrm {e} ^{t}$ und $\mathrm {e} ^{2t}$ in $V$ sind linear unabhängig.

$[1]$ Ekzerpt aus dem Originalartikel Lineare Unabhängigkeit: Funktionen als Vektoren

Lösungsvorschlag von Har203

Sei $V=\{f\,\vert \,f\colon \,\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \}$ der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen. Untersuchen Sie, ob $f,\,g$ und $h$ mit $f(x)=1$, $g(x)=e^{2}$ und $h(x)=\operatorname {e} ^{3\cdot x}$ linear unabhängig sind.

Wir stellen das Gleichungssystem für die Überprüfung der linearen Unabhängigkeit auf. Diese drei Funktionen sind linear unabhängig, wenn für die folgende Gleichung nur die triviale Lösung $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}\,=\,0$ existiert$\colon \,$.

$\lambda _{1}\cdot f(t)+\lambda _{2}\cdot g(t)+\lambda _{3}\cdot h(t)\,=\,\lambda _{1}\cdot 1+\lambda _{2}\cdot e^{2}+\lambda _{3}\cdot \operatorname {e} ^{3\cdot t},\,\forall \,t\in \mathbb {R}$

• Zuerst schauen wir uns die Funktionen genauer an. Die beiden Funktionen $f(t)$ und $g(t)$ sind beide konstante Funktionen und werden voraussichtlich jeweils durch die andere Funktion linear ersetzbar sein. Damit würde bereits $\lambda _{3}\,=\,0$ genügen.

• In der allgemeinen Gleichung setzen wir $\lambda _{3}=0$ und berechnen $\lambda _{1}$ als Funktion von $\lambda _{2}$ - wir drücken $\lambda _{1}$ durch $\lambda _{2}$ aus:

$\lambda _{1}\cdot 1+\lambda _{2}\cdot e^{2}+\,0\cdot \operatorname {e} ^{3\cdot t}\,=\,0\implies \lambda _{1}={\color {green}-(\lambda _{2}\cdot e^{2})}$

• Wir ersetzen in der allgemeinen Gleichung $\lambda _{1}$ durch den berechneten Ausdruck und erhalten:

${\color {green}-(\lambda _{2}\cdot e^{2})}\cdot 1+\lambda _{2}\cdot e^{2}+\,0\cdot \operatorname {e} ^{3\cdot t}\,=\,\lambda _{2}\cdot (-e^{2}+e^{2})\,=\,\lambda _{2}\cdot 0\,=\,0$ mit $\lambda _{1}\neq 0\,\land \,\lambda _{2}\neq 0$.

• Beispiel: $\lambda _{1}\,=\,e^{2}$ und $\lambda _{2}\,=\,(-1)\implies e^{2}\,=\,e^{2}$.

Das heißt es gibt neben der trivialen Lösung noch weitere Lösungen für diese Gleichung.

Das heißt die drei Funktionen sind linear abhängig, speziell die beiden konstanten Funktionen $f(x)=1$ und $g(x)=e^{2}$. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Lineare Unabhängigkeit

Ähnliche Beispiele:

• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_509
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_510
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_511
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_512
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_513
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_514