TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 515

Sei $V=\{f|f:ℝ\to ℝ\}$ der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen.

Untersuchen Sie, ob $f,g$ und $h$ mit $f(x)=1$, $g(x)=e^2$ und $h(x)={\mathrm{e}}^{3\cdot x}$ linear unabhängig sind.

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Hilfreiches von Har203

Lineare Abhängigkeit

Eine Menge $M$ an Vektoren $\{\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}\}$ heißt linear abhängig, wenn gilt:

$\mathrm{\exists }\overrightarrow{l}=({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)\ne \overrightarrow{0_n},{\lambda }_i\in 𝕂$ mit ${\lambda }_1\cdot \overrightarrow{x_1}+{\lambda }_2\cdot \overrightarrow{x_2}+\dots +{\lambda }_n\cdot \overrightarrow{x_n}=\overrightarrow{0}$.

Es existiert eine Linearkombination aus der Menge $M$, die den Nullvektor $\overrightarrow{0_n}$ ergibt, wobei nicht alle ${\lambda }_i=0$ sind - eine oder mehrere sogenannte nicht triviale Lösungen existieren.

Lineare Abhängigkeit Funktion

Sei $V$ der Vektorraum aller Funktionen $f:ℝ\to ℝ$. Die beiden Funktionen ${\mathrm{e}}^t$ und ${\mathrm{e}}^{2t}$ in $V$ sind linear unabhängig.

$[1]$ Ekzerpt aus dem Originalartikel Lineare Unabhängigkeit: Funktionen als Vektoren

Lösungsvorschlag von Har203

Sei $V=\{f|f:ℝ\to ℝ\}$ der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen. Untersuchen Sie, ob $f,g$ und $h$ mit $f(x)=1$, $g(x)=e^2$ und $h(x)={\mathrm{e}}^{3\cdot x}$ linear unabhängig sind.

Wir stellen das Gleichungssystem für die Überprüfung der linearen Unabhängigkeit auf. Diese drei Funktionen sind linear unabhängig, wenn für die folgende Gleichung nur die triviale Lösung ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=0$ existiert$:$.

${\lambda }_1\cdot f(t)+{\lambda }_2\cdot g(t)+{\lambda }_3\cdot h(t)={\lambda }_1\cdot 1+{\lambda }_2\cdot e^2+{\lambda }_3\cdot {\mathrm{e}}^{3\cdot t},\mathrm{\forall }t\in ℝ$

• Zuerst schauen wir uns die Funktionen genauer an. Die beiden Funktionen $f(t)$ und $g(t)$ sind beide konstante Funktionen und werden voraussichtlich jeweils durch die andere Funktion linear ersetzbar sein. Damit würde bereits ${\lambda }_3=0$ genügen.

• In der allgemeinen Gleichung setzen wir ${\lambda }_3=0$ und berechnen ${\lambda }_1$ als Funktion von ${\lambda }_2$ - wir drücken ${\lambda }_1$ durch ${\lambda }_2$ aus:

${\lambda }_1\cdot 1+{\lambda }_2\cdot e^2+0\cdot {\mathrm{e}}^{3\cdot t}=0⟹{\lambda }_1=-({\lambda }_2\cdot e^2)$

• Wir ersetzen in der allgemeinen Gleichung ${\lambda }_1$ durch den berechneten Ausdruck und erhalten:

$-({\lambda }_2\cdot e^2)\cdot 1+{\lambda }_2\cdot e^2+0\cdot {\mathrm{e}}^{3\cdot t}={\lambda }_2\cdot (-e^2+e^2)={\lambda }_2\cdot 0=0$ mit ${\lambda }_1\ne 0\wedge {\lambda }_2\ne 0$.

• Beispiel: ${\lambda }_1=e^2$ und ${\lambda }_2=(-1)⟹e^2=e^2$.

Das heißt es gibt neben der trivialen Lösung noch weitere Lösungen für diese Gleichung.

Das heißt die drei Funktionen sind linear abhängig, speziell die beiden konstanten Funktionen $f(x)=1$ und $g(x)=e^2$. $◼$

Links

Wikipedia:

• Lineare Unabhängigkeit

Ähnliche Beispiele:

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