TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 514

Sei $V=\{f\mid f:ℝ\to ℝ\}$ der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen.

Untersuchen Sie, ob $f,g$ und $h$ mit $f(x)=e^x,g(x)=x{e}^x$ und $h(x)=x^2{e}^x$ linear unabhängig sind.

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Hilfreiches von Har203

Lineare Abhängigkeit

Eine Menge $M$ an Vektoren $\{\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}\}$ heißt linear abhängig, wenn gilt:

$\mathrm{\exists }\overrightarrow{l}=({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)\ne \overrightarrow{0_n},{\lambda }_i\in 𝕂$ mit ${\lambda }_1\cdot \overrightarrow{x_1}+{\lambda }_2\cdot \overrightarrow{x_2}+\dots +{\lambda }_n\cdot \overrightarrow{x_n}=\overrightarrow{0}$.

Es existiert eine Linearkombination aus der Menge $M$, die den Nullvektor $\overrightarrow{0_n}$ ergibt, wobei nicht alle ${\lambda }_i=0$ sind - eine oder mehrere sogenannte nicht triviale Lösungen existieren.

Lineare Abhängigkeit Funktion

Sei $V$ der Vektorraum aller Funktionen $f:ℝ\to ℝ$. Die beiden Funktionen ${\mathrm{e}}^t$ und ${\mathrm{e}}^{2t}$ in $V$ sind linear unabhängig.

$[1]$ Ekzerpt aus dem Originalartikel Lineare Unabhängigkeit: Funktionen als Vektoren

Lösungsvorschlag von Har203

Sei $V=\{f\mid f:ℝ\to ℝ\}$ der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen.

Untersuchen Sie, ob $f,g$ und $h$ mit $f(x)=e^x,g(x)=x{e}^x$ und $h(x)=x^2{e}^x$ linear unabhängig sind.

Für eine lineare Unabhängigkeit der drei vorgegebenen reellwertigen Funktionen darf die folgende Gleichung nur die triviale Lösung (${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=0$) haben:

${\lambda }_1\cdot f(x)+{\lambda }_2\cdot g(x)+{\lambda }_3\cdot h(x)=0,{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\in ℝ,\mathrm{\forall }x\in ℝ⟹{\lambda }_1\cdot e^x+{\lambda }_2\cdot x\cdot e^x+{\lambda }_3\cdot x^2\cdot e^x=0$.

Bevor wir beginnen spezielle Werte in die Gleichung einzusetzen, schauen wir uns noch die allgemeine Gleichung an:

• Jeder der drei Terme enthält den Ausdruck $e^x$. Diesen Teil können wir herausheben und schreiben die Gleichung um:

$e^x\cdot ({\lambda }_1+{\lambda }_2\cdot x+{\lambda }_3\cdot x^2)=0$.

• Wir wissen, dass ein Produkt $a\cdot b,a,b\in ℝ$ nur $0$ ist genau dann, wenn zumindest einer der Faktoren $a=0\vee b=0$ ist. Da der Bildraum von $e^x$ nur positive Werte $e(x)>0,\mathrm{\forall }x\in ℝ$ annimmt, fällt dieser Ausdruck als Lösung weg. Damit bleibt nur noch der Ausdruck über:

${\lambda }_1+{\lambda }_2\cdot x+{\lambda }_3\cdot x^2=0$.

• Das ist ein Polynom zweiten Grades, welches $\mathrm{\forall }x\in ℝ$ genau dann $0$ ist, wenn die drei Koeffizienten ${\lambda }_i=0,i\in \{1,2,3\}$ sind.

• Daraus folgt, dass nur die triviale Lösung existiert mit

${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=0$

$⟹$ D.h. die drei Funktionen sind linear unabhängig.$◼$

Links

Wikipedia:

• Lineare Unabhängigkeit

Ähnliche Beispiele:

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