TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 514

Sei $V=\{f\mid f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \}$ der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen.
Untersuchen Sie, ob $f,\,g$ und $h$ mit $f(x)=e^{x},\,g(x)=xe^{x}$ und $h(x)=x^{2}e^{x}$ linear unabhängig sind.

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Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lineare Abhängigkeit

Eine Menge $M$ an Vektoren $\lbrace {\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\ldots ,{\vec {x_{n}}}\rbrace$ heißt linear abhängig, wenn gilt:

\exists \,{\vec {l}}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}\right)\neq {\vec {0_{n}}},\,\lambda _{i}\in \mathbb {K}

mit

\,\lambda _{1}\cdot {\vec {x_{1}}}+\lambda _{2}\cdot {\vec {x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}\cdot {\vec {x_{n}}}={\vec {0}}

.

Es existiert eine Linearkombination aus der Menge $M$ , die den Nullvektor ${\vec {0_{n}}}$ ergibt, wobei nicht alle $\lambda _{i}=0$ sind - eine oder mehrere sogenannte nicht triviale Lösungen existieren.

Lineare Abhängigkeit Funktion

Sei $V$ der Vektorraum aller Funktionen $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ . Die beiden Funktionen $\mathrm {e} ^{t}$ und $\mathrm {e} ^{2t}$ in $V$ sind linear unabhängig.

$[1]$ Ekzerpt aus dem Originalartikel Lineare Unabhängigkeit: Funktionen als Vektoren

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei $V=\{f\mid f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \}$ der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen.

Untersuchen Sie, ob $f,\,g$ und $h$ mit $f(x)=e^{x},\,g(x)=xe^{x}$ und $h(x)=x^{2}e^{x}$ linear unabhängig sind.

Für eine lineare Unabhängigkeit der drei vorgegebenen reellwertigen Funktionen darf die folgende Gleichung nur die triviale Lösung ( $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=0$ ) haben:

\lambda _{1}\cdot f(x)+\lambda _{2}\cdot g(x)+\lambda _{3}\cdot h(x)=0,\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\lambda _{3}\in \mathbb {R} ,\,\forall \,x\in \mathbb {R} \implies \lambda _{1}\cdot e^{x}+\lambda _{2}\cdot x\cdot e^{x}+\lambda _{3}\cdot x^{2}\cdot e^{x}\,=\,0

.

Bevor wir beginnen spezielle Werte in die Gleichung einzusetzen, schauen wir uns noch die allgemeine Gleichung an:

Jeder der drei Terme enthält den Ausdruck $e^{x}$ . Diesen Teil können wir herausheben und schreiben die Gleichung um:

e^{x}\cdot (\lambda _{1}+\lambda _{2}\cdot x+\lambda _{3}\cdot x^{2})\,=\,0

.

Wir wissen, dass ein Produkt $a\cdot b,\,a,\,b\in \mathbb {R} \,$ nur $0$ ist genau dann, wenn zumindest einer der Faktoren $a=0\,\lor \,b=0$ ist. Da der Bildraum von $e^{x}$ nur positive Werte $e(x)>0,\,\forall x\in \mathbb {R}$ annimmt, fällt dieser Ausdruck als Lösung weg. Damit bleibt nur noch der Ausdruck über:

\lambda _{1}+\lambda _{2}\cdot x+\lambda _{3}\cdot x^{2}\,=\,0

.

Das ist ein Polynom zweiten Grades, welches $\forall \,x\in \mathbb {R}$ genau dann $0$ ist, wenn die drei Koeffizienten $\lambda _{i}=0,\,i\in \{1,2,3\}$ sind.