TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 606

Bestimmen Sie einen Wert $a\in \mathbb{Z}$, sodass die quadratische Form $3x^2+axy+2xz+2y^2+2yz+2z^2$ positiv definit ist.

Dieses Beispiel ist als unsolved markiert. Ist dies falsch oder ungenau? Aktualisiere den Lösungsstatus (Details: Vorlage:Beispiel)

Dieses Beispiel hat noch keinen Lösungsvorschlag. Um einen zu erstellen, kopiere folgende Zeilen, bearbeite die Seite und aktualisiere den status=unsolved Mögliche status=... Werte stehen hier: Vorlage:Beispiel

== Lösungsvorschlag von ~~~ ==
--~~~~

Siehe auch Hilfe:Formeln und Hilfe:Beispielseiten.

Hilfreiches

Hauptminorenkriterium

Hauptminorenkriterium

Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind.
Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn die Hauptminoren $M_k$ für die geraden k positiv und für die ungeraden k negativ sind (bzw. wenn -A positiv definit ist. Das alternierende Schema entsteht durch die Auswirkungen der elementaren Spalten/Zeilenumformungen)

(führende) Hauptminoren

Zum Beispiel:

$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 2& 3\\ 2& 3& 14\end{array}\right)$

1. Hauptminor: $\left|\begin{array}{c}4\end{array}\right|$

2. Hauptminor: $\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 2\end{array}\right|$

3. Hauptminor: $\left|\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 2& 3\\ 2& 3& 14\end{array}\right|$

Lösungsvorschlag von Lautzi

Die quadratische Form lässt sich in die Form $x^T\ast G\ast x>0$ bringen. Ich hab das durch ein bisschen Trial-and-Error hingekriegt, kann aber gut sein, dass es hier einen besseren Weg gibt! Im Endeffekt lässt sich dann aber die quadratische Form in die Matrix $G=\left(\begin{array}{ccc}3& \frac{a}{2}& 1\\ \frac{a}{2}& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$ bringen.

Um nun zu bestimmen ob und wann diese Matrix positiv definit ist, können wir das Hauptminorenkriterium zur Hand nehmen. Da wir eine $3\times 3$ Matrix haben, gibt es drei Hauptminoren $M_1,M_2,M_3$.

$M_1=3$

$M_2=\left|\begin{array}{cc}3& \frac{a}{2}\\ \frac{a}{2}& 2\end{array}\right|$

$M_3=\left|\begin{array}{ccc}3& \frac{a}{2}& 1\\ \frac{a}{2}& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|$

Die manuelle Berechnung zieht sich bissl, und skippe ich deswegen hier, aber grundsätzlich sind die Ergebnisse $M_2=6-\frac{a^2}{4}$ und $M_3=7+a-\frac{2a^2}{4}$.

Das Hauptminorenkriterium besagt nun, dass all diese Determinanten größer 0 sein müssen, damit die Matrix auch positiv definit ist. Also $M_2>0$ und $M_3>0$. Wir setzen ein und formen um, sodass bei $M_2$ herauskommt $a<\sqrt{24}$ und bei $M_3$ dass $a(a-2)<14$. In $\mathbb{Z}$ bedeutet das nun, dass wir für a $0,1,2,3,4$ einsetzen dürfen. Somit haben wir bestimmt was $a$ sein kann.

--Lautzi 16:34, 9. Jan. 2026 (CET)

Anmerkung:

Da $a^2<24$gilt, sind auch negative ganze Zahlen Teil dieser Menge. Durch $M_2$ wird die Menge auf $\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$ begrenzt. Durch $M_3$ ist die finale Menge $a\in \{-2,-1,0,1,2,3,4\}$.

Hilfreiches von Har203

Hauptminorenkriterium

Artikel: Definitheit: Hauptminoren: Hauptminorenkriterium

Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind.
Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn die Hauptminoren $M_k$ für die geraden k positiv und für die ungeraden k negativ sind (bzw. wenn $(-A)$ positiv definit ist).

Anmerkung: Das alternierende Vorzeichen bei negativ definit ergibt sich aus der Anwendung des Sylvester-Kriteriums auf $(-A)$.

Zum Beispiel ((führende) Hauptminoren):

$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 2& 3\\ 2& 3& 14\end{array}\right)\begin{array}{cc}& 1.Hauptminor:\\ & \left|\begin{array}{c}4\end{array}\right|\\ & \\ & \end{array}\begin{array}{cc}& 2.Hauptminor:\\ & \left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 2\end{array}\right|\\ & \end{array}\begin{array}{cc}& 3.Hauptminor:\\ & \left|\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 2& 3\\ 2& 3& 14\end{array}\right|\end{array}$

Minor oder Unterdeterminante

Minor oder Unterdeterminante ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit die Determinante einer quadratischen Untermatrix, die durch Streichen einer oder mehrerer Spalten und Zeilen einer Matrix entsteht. Die Anzahl der Zeilen bzw. Spalten der entsprechenden Untermatrix gibt die Ordnung des Minors an.

Hauptminoren

Definition

Entstehen Minoren durch Streichungen von Zeilen und Spalten derselben Nummern, spricht man von Hauptminoren, genauer von Hauptminoren k-ter Ordnung, wenn die Größe der Untermatrix angegeben werden soll. Bleiben genau die ersten k Zeilen und Spalten übrig, so spricht man von führenden Hauptminoren k-ter Ordnung. Die führenden Hauptminoren werden mitunter auch natürlich geordnete Hauptminoren genannt. Im deutschsprachigen Raum werden die führenden Hauptminoren oft verkürzt nur Hauptminoren genannt. Dies hängt insbesondere damit zusammen, dass für viele Anwendungen nicht alle Hauptminoren untersucht werden müssen. Außerdem ist im deutschsprachigen Raum die Bezeichnung Hauptabschnittsdeterminante für die Hauptminoren gebräuchlich.

Zur Veranschaulichung mache man sich klar, wie viele Minoren, Hauptminoren und führende Hauptminoren eine 3x3-Matrix hat. Streicht man zunächst gleichzeitig die i-te Zeile und i-te Spalte für i = 1, 2, 3, so verbleiben drei Hauptminoren zweiter Ordnung. Streicht man jeweils mehrere Zeilen und die gleich nummerierten Spalten, tut man dies in diesem Fall also mit zweien, verbleiben drei Hauptminoren erster Ordnung. Umso mehr Zeilen gestrichen werden, desto kleiner die Ordnung. Die Hauptminoren haben durch das Hauptminorenkriterium eine Bedeutung für die Feststellung der Definitheit symmetrischer bzw. hermitescher Matrizen.

Definitheit

Definitheit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er beschreibt, welche Vorzeichen reelle quadratische Formen annehmen können, die durch Matrizen oder allgemeiner durch Bilinearformen erzeugt werden.

Definitheit von Bilinearformen und Sesquilinearformen

Es sei $V$ ein Vektorraum über den reellen (oder komplexen) Zahlen.

Eine symmetrische Bilinearform $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to ℝ$ (beziehungsweise eine hermitesche Sesquilinearform $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to ℂ$) heißt

positiv definit,	falls $⟨v,v⟩>0$
positiv semidefinit,	falls $⟨v,v⟩\ge 0$
negativ definit,	falls $⟨v,v⟩<0$
negativ semidefinit,	falls $⟨v,v⟩\le 0$

jeweils für alle $v\in V$, $v≠0$, gilt. Man beachte, dass auch im komplexen Fall wegen der geforderten Hermitizität $⟨v,v⟩$ stets reell ist.
Trifft keine dieser Bedingungen zu, heißt die Form indefinit. Genau in diesem Fall nimmt $⟨v,v⟩$ sowohl positive als auch negative Werte an.

Die obigen Bedingungen bedeuten also, dass die zugehörige quadratische Form $Q(v):=⟨v,v⟩$ positiv definit, positiv semidefinit, negativ definit, negativ semidefinit bzw. indefinit ist.

Definitheit von Matrizen

Definitionen

Jede quadratische Matrix beschreibt eine Bilinearform auf $V={ℝ}^n$ (bzw. eine Sesquilinearform auf $V={ℂ}^n$). Man nennt eine quadratische Matrix deshalb positiv definit, wenn diese Eigenschaft auf die durch die Matrix definierte Bilinearform bzw. Sesquilinearform zutrifft. Entsprechend definiert man auch die anderen Eigenschaften. Dies bedeutet: Eine beliebige (ggf. symmetrische bzw. hermitesche) $(n\times n)$-Matrix $A$ ist

positiv definit,	falls $x^{T}Ax>0$
positiv semidefinit,	falls $x^{T}Ax\ge 0$
negativ definit,	falls $x^{T}Ax<0$
negativ semidefinit,	falls $x^{T}Ax\le 0$

für alle $n$-zeiligen Spaltenvektoren $x\in V$ mit $x\ne 0$, wobei $x^T$ der Zeilenvektor ist, der aus dem Spaltenvektor $x$ durch Transponieren hervorgeht.

Kriterien für Definitheit

Hauptminoren

Eine symmetrische bzw. hermitesche Matrix $A$ ist genau dann positiv definit, wenn alle führenden Hauptminoren von $A$ positiv sind. Aus der Tatsache, dass $A$ genau dann negativ definit ist, wenn $-A$ positiv definit ist, ergibt sich: $A$ ist genau dann negativ definit, wenn die Vorzeichen der führenden Hauptminoren alternieren, das heißt, falls alle ungeraden führenden Hauptminoren negativ und alle geraden positiv sind.

Bemerkungen

• Für Semidefinitheit gibt es kein Kriterium, das nur die führenden Hauptminoren berücksichtigen würde, was schon an der Diagonalmatrix mit Einträgen 0 und −1 zu sehen ist. Sollen die entsprechenden Aussagen vielmehr auch für den Fall der Semidefinitheit gelten, müssen im Fall positiver Semidefinitheit nun alle, nicht nur die führenden Hauptminoren nichtnegativ, im Fall negativer Semidefinitheit alle ungeraden Hauptminoren nichtpositiv sowie alle geraden Hauptminoren nichtnegativ sein.
• Für nicht-hermitesche Matrizen gilt das Kriterium nicht. Ein Beispiel dafür ist die indefinite Matrix $\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& -1\end{array}\right)$, deren führende Hauptminoren gleichwohl beide positiv sind.
• Das Kriterium wird oft auch Sylvester-Kriterium genannt. Vereinzelt wird auch die Bezeichnung „Hurwitz-Kriterium“ verwendet, obwohl sich dieses ursprünglich nur auf Hurwitz-Matrizen bezog.

Eigenwerte

Eine quadratische symmetrische (bzw. hermitesche) Matrix ist genau dann

positiv definit,	wenn alle Eigenwerte größer als null sind;
positiv semidefinit,	wenn alle Eigenwerte größer oder gleich null sind;
negativ definit,	wenn alle Eigenwerte kleiner als null sind;
negativ semidefinit,	wenn alle Eigenwerte kleiner oder gleich null sind und
indefinit,	wenn positive und negative Eigenwerte existieren.

Damit kann jedes Verfahren zur Bestimmung oder Abschätzung von Eigenwerten benutzt werden, um die Definitheit der Matrix zu bestimmen. Eine Möglichkeit sind die Gerschgorin-Kreise, die es erlauben, das Spektrum zumindest abzuschätzen. Dies reicht häufig schon aus, um die Definitheit zu bestimmen. Die Gerschgorin-Kreise geben anhand der Einträge der Matrix Mengen in der komplexen Ebene an, in denen die Eigenwerte enthalten sind, im Falle von symmetrischen Matrizen Intervalle auf der reellen Achse. Damit ist es manchmal einfach möglich, die Definitheit einer Matrix zu bestimmen. Einzelheiten hierzu, insbesondere über die Signatur von symmetrischen Bilinearformen und Matrizen, siehe Trägheitssatz von Sylvester.

Quadratische Form

Eine quadratische Form ist in der Mathematik eine Funktion, die sich in einigen Aspekten wie die quadratische Funktion $x\mapsto x^2$ verhält. Ein Polynom, welches ausschließlich Terme zweiten Grades enthält, ist eine quadratische Form. Ein bekanntes Beispiel ist das Quadrat des Betrages eines Vektors $\overrightarrow{v}=(x,y,z,\dots )$:

$|\overrightarrow{v}{|}^2=x^2+y^2+z^2+\dots$

Quadratische Formen tauchen in vielen Bereichen der Mathematik auf. In der Geometrie dienen sie dazu, Metriken einzuführen, in der Elementargeometrie zur Beschreibung von Kegelschnitten. Sie sind aber, falls zum Beispiel über den rationalen oder ganzen Zahlen betrachtet, auch ein klassischer Gegenstand der Zahlentheorie, in der man etwa nach den Zahlen fragt, die sich durch eine quadratische Form darstellen lassen. Hier werden im Folgenden vor allem zahlentheoretische Aspekte betrachtet.

Motivation

Ein (reeller) Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ lässt sich zu einem normierten Raum machen, indem man die Norm eines Vektors $x$ als induzierte Norm $\Vert x\Vert :=\sqrt{⟨x,x⟩}$ definiert. Die hierbei verwendete Quadratwurzel stört insofern, als man, wenn man stattdessen die Abbildung $q:x\mapsto ⟨x,x⟩$ betrachtet, auch auf allgemeinere Bilinearformen und andere Grundkörper $K$ verallgemeinern kann. Da ein Vektorraum dadurch bestimmt ist, dass Vektoren addiert und mit Elementen des Grundkörpers skaliert werden können, ist zu untersuchen, wie die Abbildung $q$ sich hierbei verhält. Man findet die folgenden Beziehungen:

$\begin{array}{cc}q(ax)=a^{2}q(x)& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}a\in K\text{ und }x\in V\\ q(x+y)+q(x-y)=2q(x)+2q(y)& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}x,y\in V\end{array}$

Abbildungen $q:V\to K$, die die obigen Bedingungen erfüllen, kann man auch betrachten, ohne dass sie von einer Bilinearform herstammen. Obendrein kann man von Vektorräumen über einem Körper zu Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement verallgemeinern. Häufig untersucht man hierbei den Ring $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen sowie den Modul${\mathbb{Z}}^n$, insbesondere ${\mathbb{Z}}^2$.

Quadratische Form in n Unbestimmten

Eine quadratische Form (in $n$ Unbestimmten) über einem kommutativen Ring mit Einselement $A$ ist ein homogenes Polynom vom Grad 2 in $n$ Unbestimmten mit Koeffizienten in $A$.

Der Begriff Form wurde von Legendre geprägt.

Spezialfälle

• Für $n=2$ spricht man von binären quadratischen Formen. Eine binäre quadratische Form ist also ein Polynom der Gestalt $a{X}^2+bXY+c{Y}^2$ mit $a,b,c\in A$.
• Für $n=3$ spricht man von ternären quadratischen Formen. Eine ternäre quadratische Form ist also ein Polynom der Gestalt $a{X}^2+bXY+cXZ+d{Y}^2+eYZ+f{Z}^2$ mit $a,\dots ,f\in A$.

Lösungsvorschlag von Har203

Bestimmen Sie einen Wert $a\in \mathbb{Z}$, sodass die quadratische Form $3x^2+axy+2xz+2y^2+2yz+2z^2$ positiv definit ist.

Wir erstellen zuerst die Matrix $A$ zur quadratischen Form: Für die Belegung der Elemente dieser symmetrischen Matrix gibt es einige Vorgaben:

1. Die Matrix hat die Ausprägung $A^{3\times 3}$ für die drei Variablen ($x,y,z$).
2. Die Koeffizienten der nach Variablen sortierten Quadrate $𝐪$ gehören in die Hauptdiagonale $a_{ii}=𝐪$.
3. Die nach den Variablen ($x,y,z$) sortierten Koeffizienten $𝐤$ gehören für die symmetrische Matrix jeweils in die Elemente $a_{ij}=\frac{k}{2}$ und $a_{ji}=\frac{k}{2}$.

Wir stellen jetzt die Matrix auf:

$H=\left(\begin{array}{cccc}ij& x& y& z\\ x& 3& \frac{a}{2}& 1\\ y& \frac{a}{2}& 2& 1\\ z& 1& 1& 2\end{array}\right)$.

Wir untersuchen jetzt die einzelnen Hauptminoren:

1.Hauptminor H1

• Der Indexbereich für die zu untersuchende Matrix ist: $(i,j):(1,1)\to (1,1)$

Die Matrix $H_1=\left(\begin{array}{c}3\end{array}\right)$.

Die Determinante dieser Matrix $H_1:h_1=det(H_1)=3$.

Für die Determinante gilt: $h_1>0⟹$ kein Abbruch und wir untersuchen weiter.

2.Hauptminor H2

• Der Indexbereich für die zu untersuchende Matrix ist: $(i,j):(1,1)\to (2,2)$

Die Matrix $H_2=\left(\begin{array}{cc}3& \frac{a}{2}\\ \frac{a}{2}& 2\end{array}\right)$.

Die Determinante dieser Matrix $H_2:h_2=det(H_2)=(3\cdot 2)-\frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}=\mathrm{𝟔}\mathbf{-}\frac{a^2}{4}$.

Für die Determinante muss gelten: $h_2>0⟹$ Wir müssen diese Determinante $h_2$ noch weiter untersuchen.

3.Hauptminor H3

• Der Indexbereich für die zu untersuchende Matrix ist: $(i,j):(1,1)\to (3,3)$

Die Matrix $H_3=\left(\begin{array}{ccc}3& \frac{a}{2}& 1\\ \frac{a}{2}& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$.

Die Determinante dieser Matrix über die Regel von Sarrus$:H_3:h_3=det(H_3)=7+a-\frac{a^2}{2}$.

Für die Determinante muss gelten: $h_3>0⟹$ Wir müssen die Determinante $h_3$ noch weiter untersuchen..

Wir müssen für die beiden Hauptminoren $2,3$ den Wert $a\in \mathbb{Z}$ so bestimmen, dass für $h_2$ und $h_3$ gilt$:$

${𝐡}_{\mathrm{𝟐}}=6-\frac{a^2}{4}>\mathrm{𝟎}\wedge {𝐡}_{\mathrm{𝟑}}=7+a-\frac{a^2}{2}>\mathrm{𝟎}$.

$\begin{array}{cccccccc}& h_2:\frac{a^2}{4}-6<0& |\cdot 4& \to a^2-24<0& \to (a-2\cdot \sqrt{6})\cdot (a+2\cdot \sqrt{6})& ⟹a\in & ]-2\cdot \sqrt{6};+2\cdot \sqrt{6}& [\\ & h_3:\frac{a^2}{2}-a-7<0& |\cdot 2& \to a^2-2\cdot a-14<0& \to a_{1,2}=1\pm \sqrt{15}& ⟹a\in & ]1-\sqrt{15};1+\sqrt{15}& [.\end{array}$

$\begin{array}{ccccccccc}& ⟹a\in & ]-2\cdot \sqrt{6}& ;+2\cdot \sqrt{6}& [\cap & ]1-\sqrt{15}& ;1+\sqrt{15}& [& \cap \mathbb{Z}\\ & ⟹a\in \approx & ]-4.899& ;+4.899& [\cap & ]-2.8730& ;+4.8730& [& \cap \mathbb{Z}\end{array}$

$⟹𝐚\mathbf{\in }\mathbf{\{}\mathbf{-}\mathrm{𝟐},\mathbf{-}\mathrm{𝟏},\mathrm{𝟎},\mathrm{𝟏},\mathrm{𝟐},\mathrm{𝟑},\mathrm{𝟒}\mathbf{\}}$ $◼$

Überprüfung der Hauptminoren

$\begin{array}{ccc}a=& h_2=det(H_2)& h_3=det(H_3)\\ -3& 3.75& -0.50\\ -2& 5.00& 3.00\\ -1& 5.75& 5.50\\ 0& 6.00& 7.00\\ 1& 5.75& 7.50\\ 2& 5.00& 7.00\\ 3& 3.75& 5.50\\ 4& 2.00& 3.00\\ 5& -0.25& -0.50\end{array}$ $\surd$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Determinante
• Quadratische Form
• Bilinearform
• Definitheit
• Minor

Ähnliche Beispiele: