TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 606

Bestimmen Sie einen Wert $a\in \mathbb {Z}$ , sodass die quadratische Form $3x^{2}+axy+2xz+2y^{2}+2yz+2z^{2}$ positiv definit ist.

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== Lösungsvorschlag von ~~~ ==
--~~~~

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptminorenkriterium

Hauptminorenkriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind.
Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn die Hauptminoren $M_{k}$ für die geraden k positiv und für die ungeraden k negativ sind (bzw. wenn -A positiv definit ist. Das alternierende Schema entsteht durch die Auswirkungen der elementaren Spalten/Zeilenumformungen)

(führende) Hauptminoren

Zum Beispiel:

$A={\begin{pmatrix}4&2&2\\2&2&3\\2&3&14\end{pmatrix}}$

1. Hauptminor: ${\begin{vmatrix}4\end{vmatrix}}$

2. Hauptminor: ${\begin{vmatrix}4&2\\2&2\end{vmatrix}}$

3. Hauptminor: ${\begin{vmatrix}4&2&2\\2&2&3\\2&3&14\end{vmatrix}}$

Lösungsvorschlag von Lautzi[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die quadratische Form lässt sich in die Form $x^{T}*G*x>0$ bringen. Ich hab das durch ein bisschen Trial-and-Error hingekriegt, kann aber gut sein, dass es hier einen besseren Weg gibt! Im Endeffekt lässt sich dann aber die quadratische Form in die Matrix $G={\begin{pmatrix}3&{\frac {a}{2}}&1\\{\frac {a}{2}}&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}$ bringen.

Um nun zu bestimmen ob und wann diese Matrix positiv definit ist, können wir das Hauptminorenkriterium zur Hand nehmen. Da wir eine $3\times 3$ Matrix haben, gibt es drei Hauptminoren $M_{1},M_{2},M_{3}$ .

$M_{1}=3$

$M_{2}={\begin{vmatrix}3&{\frac {a}{2}}\\{\frac {a}{2}}&2\end{vmatrix}}$

$M_{3}={\begin{vmatrix}3&{\frac {a}{2}}&1\\{\frac {a}{2}}&2&1\\1&1&2\end{vmatrix}}$

Die manuelle Berechnung zieht sich bissl, und skippe ich deswegen hier, aber grundsätzlich sind die Ergebnisse $M_{2}=6-{\frac {a^{2}}{4}}$ und $M_{3}=7+a-{\frac {2a^{2}}{4}}$ .

Das Hauptminorenkriterium besagt nun, dass all diese Determinanten größer 0 sein müssen, damit die Matrix auch positiv definit ist. Also $M_{2}>0$ und $M_{3}>0$ . Wir setzen ein und formen um, sodass bei $M_{2}$ herauskommt $a<{\sqrt {24}}$ und bei $M_{3}$ dass $a(a-2)<14$ . In $\mathbb {Z}$ bedeutet das nun, dass wir für a $0,1,2,3,4$ einsetzen dürfen. Somit haben wir bestimmt was $a$ sein kann.