TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 113

(a) Wie groß ist die Bogenlänge der Kurve

$\overrightarrow{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{t}^2\\ \cos t\\ \sin t\end{array}\right),0\le t\le 2\pi$.

(b) Die nachstehende Kurve ist nach ihrer Bogenlänge zu parametrisieren:

$\overrightarrow{x}(t)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}{t}^2\\ \frac{1}{3}(2t+1{)}^{3/2}\end{array}\right),t\ge 0$.

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}}

Hilfreiches

Bogenlänge

Bogenlänge

Bogenlänge einer ebenen Kurve: $s={\int }_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+y{\text{'}}^2}dx$

---

Bogenlänge einer ebenen Kurve in Parameterdarstellung/Vektordarstellung:
Parameterdarstellung/Vektordarstellung: $\overrightarrow{x}(t)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$
$s={\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}dt$

---

Bogenlänge einer Raumkurve: $s={\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+z{\text{'}}^2}dt$

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$\begin{array}{cc}s& ={\int }_0^{2\pi }\sqrt{(2t{)}^2+\underset{=1}{\underbrace{(-\sin t{)}^2+(\cos t{)}^2}}}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{2\pi }\sqrt{4t^2+1}\mathrm{d}t\\ & \dots \\ & =\pi \sqrt{1+16{\pi }^2}+\frac{1}{4}{\sinh }^{-1}4\pi \approx 40.4097\end{array}$

WolframAlpha

Beispiel (b)

Als obere Grenze für $t$ nehmen wir $u$ an.

$\begin{array}{cc}s& ={\int }_0^u\sqrt{{\left(t\right)}^2+{\left(\sqrt{2t+1}\right)}^2}\mathrm{d}t\\ s& ={\int }_0^u\sqrt{t^2+2t+1}\mathrm{d}t\\ s& ={\int }_0^u\sqrt{(t+1{)}^2}\mathrm{d}t\\ s& ={\int }_0^{u}t+1\mathrm{d}t\\ s& ={\frac{t^2}{2}+t|}_0^u\\ s& =\frac{u^2}{2}+u-\frac{0^2}{2}+0\\ 2s& =u^2+2u\\ 0& =u^2+2u-2s\\ u& =-\frac{2}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{2}{2}\right)}^2-2s}\\ u& =\sqrt{1-2s}-1\end{array}$

Anstelle von $t$ setzen wir nun $u$ in die Angabe ein und erhalten $x$ in Abhängigkeit von der Bogenlänge $s$:

$\overrightarrow{x}(u)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}(\sqrt{1-2s}-1{)}^2\\ \frac{1}{3}(2(\sqrt{1-2s}-1)+1{)}^{3/2}\end{array}\right)$, für $u>0$

Hinweis: Die zweite mögliche Lösung aus der Lösungsformel kann aufgrund der Bedingung $t\ge 0$ aus der Angabe verworfen werden.

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 129
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 131