TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 2

Gegeben sei die quadratische Form

$q({\vec {x}})=q(x,y,z)=75x^{2}+7y^{2}+2bxz+12z^{2}$ mit $b\in \mathbb {R}$.

Wie lautet die zugehörige symmetrische Matrix $A$, so dass $q({\vec {x}})={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}$? Für welche Werte von $b$ ist die Form positiv definit?

Hilfreiches

Quadratische Form

Quadratische Form

Definition:

Die Quadratische Form aus einem Vektor ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ und einer symmetrischen quadratischen Matrix $A_{n}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}},\;a_{ij}=a_{ji}\;\forall i,j$ ist

$q({\vec {x}})={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}$.

• Für z.B. den Fall n=2 ist also $q(x,y)=\left(x\ y\right){\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=ax^{2}+2bxy+cy^{2}$.

Definitheit

Definitheit

Definition: Eine quadratische Form $q({\vec {x}})={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}$ (bzw. die zugehörige symmetrische Matrix $A$) heißt:

1. positiv definit, falls $q({\vec {x}})>0\quad \forall {\vec {x}}\neq {\vec {0}}$
2. negativ definit, falls $q({\vec {x}})<0\quad \forall {\vec {x}}\neq {\vec {0}}$
3. positiv semidefinit, falls $q({\vec {x}})\geq 0\quad \forall {\vec {x}}$
4. negativ semidefinit, falls $q({\vec {x}})\leq 0\quad \forall {\vec {x}}$
5. indefinit sonst.

Hauptminoren

Hauptminoren

Definition:

Die Determinanten der Teilmatrizen A_k einer quadratischen Matrix, die durch Streichung der n−k rechtesten Spalten und n−k untersten Zeilen entstehen, heißen Hauptminoren.

Wenn alle Hauptminoren einer symmetrischen quadratischen Matrix >0 sind, so ist die Matrix positiv definit.

Lösungsvorschlag

Für den Fall $n=3$ gilt $q(x,y,z)=\left(x\ y\ z\right){\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=ax^{2}+2bxy+2cxz+dy^{2}+2ezy+fz^{2}$.

Ein Koeffizientenvergleich ergibt folgende Matrix:

$A={\begin{pmatrix}75&0&b\\0&7&0\\b&0&12\end{pmatrix}}$

Damit die Matrix positiv definit ist, müssen alle Hauptminore > 0 sein. In diesem Fall:

${\begin{aligned}|A_{1}|&={\begin{vmatrix}75\end{vmatrix}}&=75>0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}|A_{2}|&={\begin{vmatrix}75&0\\0&7\end{vmatrix}}\\&=75\cdot 7-0\cdot 0\\&=525>0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}|A_{3}|&={\begin{vmatrix}75&0&b\\0&7&0\\b&0&12\end{vmatrix}}\\&=75\cdot 7\cdot 12+0\cdot 0\cdot b+b\cdot 0\cdot 0-75\cdot 0\cdot 0-0\cdot 0\cdot 12-b\cdot 7\cdot b\\&=6300-7b^{2}>0\end{aligned}}$

$|A_{1}|$ und $|A_{2}|$ sind immer positiv. $|A_{3}|$ ist unter folgender Bedingung positiv:

${\begin{aligned}6300-7b^{2}&>0\\6300&>7b^{2}\\900&>b^{2}\\30&>b>-30\end{aligned}}$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 58 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 15 (ähnliches Beispiel)
• Datei:TU Wien-Analysis 2 UE (diverse)-Übungen SS13 - Beispiel 2.pdf (Lösung aus SS2013)