TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 2

Gegeben sei die quadratische Form

$q(\overrightarrow{x})=q(x,y,z)=75x^2+7y^2+2bxz+12z^2$ mit $b\in ℝ$.

Wie lautet die zugehörige symmetrische Matrix $A$, so dass $q(\overrightarrow{x})={\overrightarrow{x}}^{T}A\overrightarrow{x}$? Für welche Werte von $b$ ist die Form positiv definit?

Hilfreiches

Quadratische Form

Quadratische Form

Definition:

Die Quadratische Form aus einem Vektor $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ und einer symmetrischen quadratischen Matrix $A_n=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right),a_{ij}=a_{ji}\mathrm{\forall }i,j$ ist

$q(\overrightarrow{x})={\overrightarrow{x}}^{T}A\overrightarrow{x}=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$.

• Für z.B. den Fall n=2 ist also $q(x,y)=\left(xy\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2$.

Definitheit

Definitheit

Definition: Eine quadratische Form $q(\overrightarrow{x})={\overrightarrow{x}}^{T}A\overrightarrow{x}$ (bzw. die zugehörige symmetrische Matrix $A$) heißt:

1. positiv definit, falls $q(\overrightarrow{x})>0\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\ne \overrightarrow{0}$
2. negativ definit, falls $q(\overrightarrow{x})<0\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\ne \overrightarrow{0}$
3. positiv semidefinit, falls $q(\overrightarrow{x})\ge 0\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}$
4. negativ semidefinit, falls $q(\overrightarrow{x})\le 0\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}$
5. indefinit sonst.

Hauptminoren

Hauptminoren

Definition:

Die Determinanten der Teilmatrizen A_k einer quadratischen Matrix, die durch Streichung der n−k rechtesten Spalten und n−k untersten Zeilen entstehen, heißen Hauptminoren.

Wenn alle Hauptminoren einer symmetrischen quadratischen Matrix >0 sind, so ist die Matrix positiv definit.

Lösungsvorschlag

Für den Fall $n=3$ gilt $q(x,y,z)=\left(xyz\right)\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& d& e\\ c& e& f\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=a{x}^2+2bxy+2cxz+d{y}^2+2ezy+f{z}^2$.

Ein Koeffizientenvergleich ergibt folgende Matrix:

$A=\left(\begin{array}{ccc}75& 0& b\\ 0& 7& 0\\ b& 0& 12\end{array}\right)$

Damit die Matrix positiv definit ist, müssen alle Hauptminore > 0 sein. In diesem Fall:

$\begin{array}{ccc}|A_1|& =\left|\begin{array}{c}75\end{array}\right|& =75>0\end{array}$

$\begin{array}{cc}|A_2|& =\left|\begin{array}{cc}75& 0\\ 0& 7\end{array}\right|\\ & =75\cdot 7-0\cdot 0\\ & =525>0\end{array}$

$\begin{array}{cc}|A_3|& =\left|\begin{array}{ccc}75& 0& b\\ 0& 7& 0\\ b& 0& 12\end{array}\right|\\ & =75\cdot 7\cdot 12+0\cdot 0\cdot b+b\cdot 0\cdot 0-75\cdot 0\cdot 0-0\cdot 0\cdot 12-b\cdot 7\cdot b\\ & =6300-7b^2>0\end{array}$

$|A_1|$ und $|A_2|$ sind immer positiv. $|A_3|$ ist unter folgender Bedingung positiv:

$\begin{array}{cc}6300-7b^2& >0\\ 6300& >7b^2\\ 900& >b^2\\ 30& >b>-30\end{array}$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 58 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 15 (ähnliches Beispiel)
• Datei:TU Wien-Analysis 2 UE (diverse)-Übungen SS13 - Beispiel 2.pdf (Lösung aus SS2013)