TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 113

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(a) Wie groß ist die Bogenlänge der Kurve

\vec x(t)=\begin{pmatrix}t^2\\\cos t\\\sin t\end{pmatrix},\quad0\leq t\leq2\pi.

(b) Die nachstehende Kurve ist nach ihrer Bogenlänge zu parametrisieren:

\vec x(t)=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}t^2\\\frac{1}{3}(2t+1)^{3/2}\end{pmatrix},\quad t\geq0.

Hilfreiches[edit]

Bogenlänge
Bogenlänge[edit]

Bogenlänge einer ebenen Kurve: s=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+y'^2}dx


Bogenlänge einer ebenen Kurve in Parameterdarstellung/Vektordarstellung:
Parameterdarstellung/Vektordarstellung:  \vec x (t) = \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)
s=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{x'^2+y'^2}dt



Bogenlänge einer Raumkurve: s=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}dt

Lösungsvorschlag[edit]

Beispiel (a)[edit]

\begin{align}
s &= \int_0^{2\pi} \sqrt{(2t)^2 + \underbrace{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2}_{=1}} \,\mathrm dt \\
&= \int_0^{2\pi} \sqrt{4t^2+1} \,\mathrm dt \\
& \dots \\
&= \pi \sqrt{1 + 16\pi^2} + \frac{1}{4} \sinh^{-1} 4\pi \approx 40.4097
\end{align}

WolframAlpha

Beispiel (b)[edit]

Als obere Grenze für t nehmen wir u an.

\begin{align}
s &= \int_0^u \sqrt{\left( t \right)^2 + \left( \sqrt{2t + 1} \right)^2} \,\mathrm dt \\
s &= \int_0^u \sqrt{t^2 + 2t + 1} \,\mathrm dt \\
s &= \int_0^u \sqrt{(t+1)^2} \,\mathrm dt \\
s &= \int_0^u t+1 \,\mathrm dt \\
s &= \left. \frac{t^2}{2} + t \right|_0^u \\
s &= \frac{u^2}{2} + u - \frac{0^2}{2} + 0  \\
2s &= u^2 + 2u \\
0 &= u^2 + 2u - 2s \\
u &= -\frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2 - 2s} \\
u &= \sqrt{1-2s} - 1
\end{align}

Anstelle von t setzen wir nun u in die Angabe ein und erhalten x in Abhängigkeit von der Bogenlänge s:

\vec x(u)=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(\sqrt{1-2s}-1)^2\\\frac{1}{3}(2(\sqrt{1-2s}-1)+1)^{3/2}\end{pmatrix}, für u > 0

Hinweis: Die zweite mögliche Lösung aus der Lösungsformel kann aufgrund der Bedingung t\geq0 aus der Angabe verworfen werden.

Links[edit]