TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 113

(a) Wie groß ist die Bogenlänge der Kurve

${\vec {x}}(t)={\begin{pmatrix}t^{2}\\\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},\quad 0\leq t\leq 2\pi$.

(b) Die nachstehende Kurve ist nach ihrer Bogenlänge zu parametrisieren:

${\vec {x}}(t)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}t^{2}\\{\frac {1}{3}}(2t+1)^{3/2}\end{pmatrix}},\quad t\geq 0$.

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}}

Hilfreiches

Bogenlänge

Bogenlänge

Bogenlänge einer ebenen Kurve: $s=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx$

---

Bogenlänge einer ebenen Kurve in Parameterdarstellung/Vektordarstellung:
Parameterdarstellung/Vektordarstellung: ${\vec {x}}(t)=\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)$
$s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}dt$

---

Bogenlänge einer Raumkurve: $s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}dt$

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

${\begin{aligned}s&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {(2t)^{2}+\underbrace {(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}} _{=1}}}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {4t^{2}+1}}\,\mathrm {d} t\\&\dots \\&=\pi {\sqrt {1+16\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4}}\sinh ^{-1}4\pi \approx 40.4097\end{aligned}}$

WolframAlpha

Beispiel (b)

Als obere Grenze für $t$ nehmen wir $u$ an.

${\begin{aligned}s&=\int _{0}^{u}{\sqrt {\left(t\right)^{2}+\left({\sqrt {2t+1}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} t\\s&=\int _{0}^{u}{\sqrt {t^{2}+2t+1}}\,\mathrm {d} t\\s&=\int _{0}^{u}{\sqrt {(t+1)^{2}}}\,\mathrm {d} t\\s&=\int _{0}^{u}t+1\,\mathrm {d} t\\s&=\left.{\frac {t^{2}}{2}}+t\right|_{0}^{u}\\s&={\frac {u^{2}}{2}}+u-{\frac {0^{2}}{2}}+0\\2s&=u^{2}+2u\\0&=u^{2}+2u-2s\\u&=-{\frac {2}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {2}{2}}\right)^{2}-2s}}\\u&={\sqrt {1-2s}}-1\end{aligned}}$

Anstelle von $t$ setzen wir nun $u$ in die Angabe ein und erhalten $x$ in Abhängigkeit von der Bogenlänge $s$:

${\vec {x}}(u)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}({\sqrt {1-2s}}-1)^{2}\\{\frac {1}{3}}(2({\sqrt {1-2s}}-1)+1)^{3/2}\end{pmatrix}}$, für $u>0$

Hinweis: Die zweite mögliche Lösung aus der Lösungsformel kann aufgrund der Bedingung $t\geq 0$ aus der Angabe verworfen werden.

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 129
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 131