TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 58

Man untersuche nachstehende Folgen in Hinblick auf Monotonie, Beschränktheit und mögliche Grenzwerte. Ferner veranschauliche man die Folgen auf der reellen Zahlengeraden:

(a) $(a_{n})=0,1,{\frac {1}{2}},3,{\frac {1}{4}},5,{\frac {1}{6}},\dots ,n,{\frac {1}{n+1}},\dots$

(b) $(b_{n})$ mit $b_{n}={\frac {n+5}{n-1}}$ für $n\geq 2$

(c) $(c_{n})$ mit $c_{n}=(-1)^{n}{\frac {n+2}{n}}$ für $n\geq 1$

Hilfreiches

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \,\epsilon >0\quad \exists \,N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall \,n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$   (Definition 4.4)

Monotonie

Monotonie von Folgen und Reihen

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt monoton ${\begin{Bmatrix}{\text{wachsend}}\\{\text{fallend}}\end{Bmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{cases}x_{n+1}\geq x_{n}\\x_{n+1}\leq x_{n}\end{cases}}$

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt streng monoton ${\begin{Bmatrix}{\text{wachsend}}\\{\text{fallend}}\end{Bmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{cases}x_{n+1}>x_{n}\\x_{n+1}<x_{n}\end{cases}}$

Beschränktheit

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt nach ${\begin{Bmatrix}{\text{oben}}\\{\text{unten}}\end{Bmatrix}}$ beschränkt $\Longleftrightarrow \exists \,a\in \mathbb {R} \quad \forall \,n\in \mathbb {N} \colon \,{\begin{cases}x_{n}\leq a&{\text{obere Schranke}}\\x_{n}\geq a&{\text{untere Schranke}}\end{cases}}$

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt beschränkt, wenn diese sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt ist.

Links

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 327 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 442 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS08/Beispiel 450 (ähnliches Beispiel)