TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 58

Man untersuche nachstehende Folgen in Hinblick auf Monotonie, Beschränktheit und mögliche Grenzwerte. Ferner veranschauliche man die Folgen auf der reellen Zahlengeraden:

(a) $(a_n)=0,1,\frac{1}{2},3,\frac{1}{4},5,\frac{1}{6},\dots ,n,\frac{1}{n+1},\dots$

(b) $(b_n)$ mit $b_n=\frac{n+5}{n-1}$ für $n\ge 2$

(c) $(c_n)$ mit $c_n=(-1{)}^n\frac{n+2}{n}$ für $n\ge 1$

Hilfreiches

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$, falls in jeder $ϵ$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h., falls

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>N(ϵ):|a_n-a|<ϵ$   (Definition 4.4)

Monotonie

Monotonie von Folgen und Reihen

• $⟨x_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt monoton $\left\{\begin{array}{c}\text{wachsend}\\ \text{fallend}\end{array}\right\}⟺\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}\ge x_n\\ x_{n+1}\le x_n\end{array}$

• $⟨x_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt streng monoton $\left\{\begin{array}{c}\text{wachsend}\\ \text{fallend}\end{array}\right\}⟺\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}>x_n\\ x_{n+1}<x_n\end{array}$

Beschränktheit

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

• $⟨x_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt nach $\left\{\begin{array}{c}\text{oben}\\ \text{unten}\end{array}\right\}$ beschränkt $⟺\mathrm{\exists }a\in ℝ\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:\{\begin{array}{cc}{x}_n\le a& \text{obere Schranke}\\ x_n\ge a& \text{untere Schranke}\end{array}$

• $⟨x_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt beschränkt, wenn diese sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt ist.

Links

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 327 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 442 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS08/Beispiel 450 (ähnliches Beispiel)