TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 49

Man untersuche die Folge $(a_{n})_{n \geq 1}$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen $(b_{n})_{n \geq 1}, (c_{n})_{n \geq 1}$ mit $b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}$ finde.
$a_{n} = \frac{1}{n^{2} + 1} + \frac{1}{n^{2} + 2} + \dots + \frac{1}{n^{2} + n}$ .

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Hilfreiches von Har203

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n \geq 0}$ , falls in jeder $ϵ$ -Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall ϵ > 0 \exists N (ϵ) \in ℕ \forall n > N (ϵ) : | a_{n} - a | < ϵ$ (Definition 4.4)

Sandwichsatz

Seien $⟨ x_{n} ⟩$ und $⟨ y_{n} ⟩$ zwei reelle Folgen mit $x_{n} \to a$ , $y_{n} \to a$ und $x_{n} \leq y_{n}$ für fast alle (alle bis auf endlich viele) $n$ . Ist $⟨ w_{n} ⟩$ eine weitere Folge mit $x_{n} \leq w_{n} \leq y_{n}$ für fast alle $n$ , so konvergiert $w_{n}$ , und zwar ebenfalls gegen $a$ .

[*] Hauptartikel Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz oder Dreifolgensatz

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 01:02, 16. Mär. 2026 (CET)

Man untersuche die Folge $(a_{n})_{n \geq 1}$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen $(b_{n})_{n \geq 1}, (c_{n})_{n \geq 1}$ mit $b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}$ finde.

Wohldefiniert

Die Folge $⟨ a_{n} ⟩_{\geq 1}$ ist für alle Folgenglieder definiert.

Folgen

Schauen wir uns die ersten Folgenglieder von $⟨ a_{n} ⟩_{\geq 1}$ :

\begin{matrix} a_{1} = \frac{1}{1^{2} + 1} = 1 / 2 \\ a_{2} = \frac{1}{2^{2} + 1} + \frac{1}{2^{2} + 2} = 1 / 5 + 1 / 6 \\ a_{3} = \frac{1}{3^{2} + 1} + \frac{1}{3^{2} + 2} + \frac{1}{3^{2} + 3} = 1 / 10 + 1 / 11 + 1 / 12 \\ a_{4} = \frac{1}{4^{2} + 1} + \frac{1}{4^{2} + 2} + \frac{1}{4^{2} + 3} + \frac{1}{4^{2} + 4} = 1 / 17 + 1 / 18 + 1 / 19 + 1 / 20 \\ a_{n} = \frac{1}{n^{2} + 1} + \frac{1}{n^{2} + 2} + \frac{1}{n^{2} + 3} + \dots + \frac{1}{n^{2} + n} = 1 / (n^{2} + 1) + 1 / (n^{2} + 2) + 1 / (n^{2} + 3) + 1 / (n^{2} + 4) + \dots + 1 / (n^{2} + n) \\ a_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{n^{2} + i} \end{matrix}

Wir werden zwei Folgen $⟨ b_{n} ⟩_{n \geq 1}$ und $⟨ c_{n} ⟩_{n \geq 1}$ erstellen.

Die Überlegung ist, dass wir von der Folge $⟨ a_{n} ⟩$ jeweils zu einem Folgeglied $a_{n}$ eine Abschätzung nach oben und eine nach unten durchführen werden. Jedes Folgeglied $a_{n}$ besteht aus exakt $n$ Summanden.

Für die obere Abschätzung wählen wir einen Ausdruck, welcher größer als der erste Summand ist und damit auch größer als alle anderen $n$ Summanden zu diesem $a_{n}$ . D.h. wir bilden die Folge $⟨ c_{n} ⟩$ mit den oberen Abschätzungen mit $c_{n} = n \cdot \frac{1}{n^{2} + 0}$ . Für diesen Term gilt für alle $n$ Summanden $\frac{1}{n^{2} + 0} > \frac{1}{n^{2} + i}, \forall i \in {1, 2, \dots, n}$ . Weiters bedeutet es, dass $c_{n} = n \cdot \frac{1}{n^{2} + 0} = \frac{1}{n} > a_{n}, \forall n \geq 1, n \in ℕ$ .

Für die untere Abschätzung wählen wir direkt zu einem Folgeglied $a_{n}$ den letzten Summand $\frac{1}{n^{2} + n}$ aus. Dieser ist kleiner als alle restlichen $n - 1$ Summanden zu diesem $a_{n}$ . D.h. wir bilden die Folge $⟨ b_{n} ⟩$ mit den unteren Abschätzungen $b_{n} = n \cdot \frac{1}{n^{2} + n}$ . Für diesen Term gilt für alle $n$ Summanden $\frac{1}{n^{2} + n} \leq \frac{1}{n^{2} + i}, \forall i \in {1, 2, \dots, n}$ . Weiters bedeutet es, dass $b_{n} = n \cdot \frac{1}{n^{2} + n} = \frac{1}{n + 1} \leq a_{n}, \forall n \geq 1, n \in ℕ$ .

Für die beiden Folgen gilt nun:

\begin{matrix} c_{n} = n \cdot \frac{1}{n^{2} + 0} = & \frac{1}{n} & mit & \frac{1}{n} > a_{n}, & \forall n \geq 1, n \in ℕ . \\ b_{n} = n \cdot \frac{1}{n^{2} + n} = & \frac{1}{n + 1} & mit & b_{n} \leq a_{n}, & \forall n \geq 1, n \in ℕ . \end{matrix}

Wir schauen uns noch die Grenzwerte für diese beiden Folgen an:

Es ist leicht ersichtlich, dass für die Folge $⟨ c_{n} ⟩$ gilt $: lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ . Dabei gilt für alle $n \geq 1 : \frac{1}{n} > a_{n}$ . Daher haben wir eine Majorante für die gegebene Folge gefunden.

Ebenfalls gilt für die Minorante, dass für die Folge $⟨ b_{n} ⟩$ gilt $: lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} = 0$ . Dabei gilt für alle $n \geq 1 : \frac{1}{n + 1} \leq a_{n}$ . Daher haben wir eine Minorante für die gegebene Folge gefunden.

Sandwichsatz

(Sandwichsatz , Einschnürungssatz, Einschließungssatz, Dreifolgensatz)

Seien $⟨ c_{n} ⟩$ und $b_{n}$ zwei reelle Folgen mit $c_{n} \to a$ , $b_{n} \to a$ und $b_{n} \leq c_{n}$ für fast alle (alle bis auf endlich viele) $n$ . Ist $a_{n}$ eine weitere Folge mit $b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}$ für fast alle $n$ , so konvergiert $a_{n}$ , und zwar ebenfalls gegen $a$ .

Wir können nun den Sandwichsatz anwenden. Die Voraussetzungen sind, dass wir zwei Folgen mit gleichem Grenzwert haben und eine weitere Folge, die durch die beiden Folgen eingeschlossen wird. Damit kann man für den Grenzwert dieser dritten Folge sagen, dass diese Folgen ebenfalls zum gleichen Grenzwert konvergiert.

$⟹$ Die Folge $⟨ a_{n} ⟩$ konvergiert und der Grenzwert dieser Folge gilt $: lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ . $◼$

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