TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 49

Man untersuche die Folge $(a_{n})_{n\geq 1}$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen $(b_{n})_{n\geq 1},\,(c_{n})_{n\geq 1}$ mit $b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}$ finde.
$a_{n}={\frac {1}{n^{2}+1}}+{\frac {1}{n^{2}+2}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}+n}}$ .

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Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$ , falls in jeder $\epsilon$ -Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \,\epsilon >0\quad \exists \,N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall \,n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$ (Definition 4.4)

Sandwichsatz

Seien $\langle x_{n}\rangle$ und $\langle y_{n}\rangle$ zwei reelle Folgen mit $x_{n}\rightarrow a$ , $y_{n}\rightarrow a$ und $x_{n}\leq y_{n}$ für fast alle (alle bis auf endlich viele) $n$ . Ist $\langle w_{n}\rangle$ eine weitere Folge mit $x_{n}\leq w_{n}\leq y_{n}$ für fast alle $n$ , so konvergiert $w_{n}$ , und zwar ebenfalls gegen $a$ .

[*] Hauptartikel Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz oder Dreifolgensatz

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 01:02, 16. Mär. 2026 (CET)

Man untersuche die Folge $(a_{n})_{n\geq 1}$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen $(b_{n})_{n\geq 1},\,(c_{n})_{n\geq 1}$ mit $b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}$ finde.

Wohldefiniert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Folge $\langle a_{n}\rangle _{\geq 1}$ ist für alle Folgenglieder definiert.

Folgen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schauen wir uns die ersten Folgenglieder von $\langle a_{n}\rangle _{\geq 1}$ :

{\begin{alignedat}{1}&a_{1}={\frac {1}{1^{2}+1}}=1/2\\&a_{2}={\frac {1}{2^{2}+1}}+{\frac {1}{2^{2}+2}}=1/5+1/6\\&a_{3}={\frac {1}{3^{2}+1}}+{\frac {1}{3^{2}+2}}+{\frac {1}{3^{2}+3}}=1/10+1/11+1/12\\&a_{4}={\frac {1}{4^{2}+1}}+{\frac {1}{4^{2}+2}}+{\frac {1}{4^{2}+3}}+{\frac {1}{4^{2}+4}}=1/17+1/18+1/19+1/20\\&a_{n}={\frac {1}{n^{2}+1}}+{\frac {1}{n^{2}+2}}+{\frac {1}{n^{2}+3}}+\ldots +{\frac {1}{n^{2}+n}}=1/(n^{2}+1)+1/(n^{2}+2)+1/(n^{2}+3)+1/(n^{2}+4)+\ldots +1/(n^{2}+n)\\&a_{n}=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {1}{n^{2}+i}}\end{alignedat}}

Wir werden zwei Folgen $\langle b_{n}\rangle _{n\geq 1}$ und $\langle c_{n}\rangle _{n\geq 1}$ erstellen.

Die Überlegung ist, dass wir von der Folge $\langle a_{n}\rangle$ jeweils zu einem Folgeglied $a_{n}$ eine Abschätzung nach oben und eine nach unten durchführen werden. Jedes Folgeglied $a_{n}$ besteht aus exakt $n$ Summanden.

Für die obere Abschätzung wählen wir einen Ausdruck, welcher größer als der erste Summand ist und damit auch größer als alle anderen $n$ Summanden zu diesem $a_{n}$ . D.h. wir bilden die Folge $\langle c_{n}\rangle$ mit den oberen Abschätzungen mit $c_{n}=n\cdot {\frac {1}{n^{2}+0}}$ . Für diesen Term gilt für alle $n$ Summanden ${\frac {1}{n^{2}+0}}>{\frac {1}{n^{2}+i}},\,\forall \,i\in \{1,2,\ldots ,n\}$ . Weiters bedeutet es, dass $c_{n}=n\cdot {\frac {1}{n^{2}+0}}={\frac {1}{n}}>a_{n},\,\forall \,n\geq 1,\,n\in \mathbb {N}$ .

Für die untere Abschätzung wählen wir direkt zu einem Folgeglied $a_{n}$ den letzten Summand ${\frac {1}{n^{2}+n}}$ aus. Dieser ist kleiner als alle restlichen $n-1$ Summanden zu diesem $a_{n}$ . D.h. wir bilden die Folge $\langle b_{n}\rangle$ mit den unteren Abschätzungen $b_{n}=n\cdot {\frac {1}{n^{2}+n}}$ . Für diesen Term gilt für alle $n$ Summanden ${\frac {1}{n^{2}+n}}\leq {\frac {1}{n^{2}+i}},\,\forall \,i\in \{1,2,\ldots ,n\}$ . Weiters bedeutet es, dass $b_{n}=n\cdot {\frac {1}{n^{2}+n}}={\frac {1}{n+1}}\leq a_{n},\,\forall \,n\geq 1,\,n\in \mathbb {N}$ .

Für die beiden Folgen gilt nun:

{\begin{alignedat}{1}&c_{n}=n\cdot {\frac {1}{n^{2}+0}}=&{\frac {1}{n}}&{\text{ mit }}\,&{\frac {1}{n}}>a_{n},\,&\forall \,n\geq 1,\,n\in \mathbb {N} .\\&b_{n}=n\cdot {\frac {1}{n^{2}+n}}=&{\frac {1}{n+1}}&{\text{ mit }}\,&b_{n}\leq a_{n},\,&\forall \,n\geq 1,\,n\in \mathbb {N} .\end{alignedat}}

Wir schauen uns noch die Grenzwerte für diese beiden Folgen an:

Es ist leicht ersichtlich, dass für die Folge $\langle c_{n}\rangle$ gilt $\colon \;\lim _{n\to \infty }\,{\frac {1}{n}}=0$ . Dabei gilt für alle $n\geq 1\colon \;{\frac {1}{n}}>a_{n}$ . Daher haben wir eine Majorante für die gegebene Folge gefunden.

Ebenfalls gilt für die Minorante, dass für die Folge $\langle b_{n}\rangle$ gilt $\colon \;\lim _{n\to \infty }\,{\frac {1}{n+1}}=0$ . Dabei gilt für alle $n\geq 1\colon \;{\frac {1}{n+1}}\leq a_{n}$ . Daher haben wir eine Minorante für die gegebene Folge gefunden.

Sandwichsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(Sandwichsatz , Einschnürungssatz, Einschließungssatz, Dreifolgensatz)

Seien $\langle c_{n}\rangle$ und $b_{n}$ zwei reelle Folgen mit $c_{n}\rightarrow a$ , $b_{n}\rightarrow a$ und $b_{n}\leq c_{n}$ für fast alle (alle bis auf endlich viele) $n$ . Ist $a_{n}$ eine weitere Folge mit $b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}$ für fast alle $n$ , so konvergiert $a_{n}$ , und zwar ebenfalls gegen $a$ .

Wir können nun den Sandwichsatz anwenden. Die Voraussetzungen sind, dass wir zwei Folgen mit gleichem Grenzwert haben und eine weitere Folge, die durch die beiden Folgen eingeschlossen wird. Damit kann man für den Grenzwert dieser dritten Folge sagen, dass diese Folgen ebenfalls zum gleichen Grenzwert konvergiert.

$\implies$ Die Folge $\langle a_{n}\rangle$ konvergiert und der Grenzwert dieser Folge gilt $\colon \;\lim _{n\to \infty }\,a_{n}=0$ . $\quad \qquad \blacksquare$