TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 59

Man zeige, dass die Folge $⟨a_n⟩$ uneigentlich konvergiert, indem man zu jedem $A>0$ ein $N(A)$ angebe, sodass für $n>N(A)$ immer $a_n>A$ gilt.

$a_n=\frac{n^3+1}{n-1}$

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Hilfreiches von Har203

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 59.

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$, falls in jeder $ϵ$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h., falls

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>N(ϵ):|a_n-a|<ϵ$   (Definition 4.4)

Konvergenz von Folgen

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

   In $ℝ$ (aber z.B. nicht in $\mathbb{Q}$!) gilt:

   • $a_n\nearrow :\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\text{sup}(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$
   • $a_n\searrow :\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\text{inf}(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$
3. $lim{x}_n=x,lim{y}_n=y⟹\{\begin{array}{c}lim(x_n\pm y_n)=x\pm y\\ lim(x_n\cdot y_n)=x\cdot y\\ lim(\frac{x_n}{y_n})=\frac{x}{y}{y}_n,y\ne 0\end{array}$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 01:51, 8. Mär. 2026 (CET)

Man zeige, dass die Folge $⟨a_n⟩$ uneigentlich konvergiert, indem man zu jedem $A>0$ ein $N(A)$ angebe, sodass für $n>N(A)$ immer $a_n>A$ gilt.

$a_n=\frac{n^3+1}{n-1}$

Bei diesem Beispiel geht es primär darum, zu zeigen, dass die Folge uneigentlich konvergiert.

Bei der Funktion $N(A)\in \mathbb{N}$ geht es darum, eine Abschätzung zu finden, die angibt, dass für alle $n>N(A)$ gilt $a_n>A$. Diese Funktion muss nicht die genaue Schranke sein, ab welchem Index diese Eigenschaft gilt.

Aber der Umkehrschluss muss gelten, dass ab diesem Index für alle $a_n$ gilt$:a_n>A$. Das steht auch genauso in der Angabe.

Außerdem wäre für ein beliebiges $A$ der Ausdruck $A<\frac{n^3+1}{n-1}$ als kubische Gleichung mit beliebigen $A>0,A\in ℝ$ nur schwer lösbar.

• Wir schauen uns einmal die Konvergenz dieser Folge an. Wir wählen für $n$ den Bereich $n\ge 2,n\in \mathbb{N}$, da durch $(n-1)$ dividiert wird.

$\begin{array}{cc}& a_n=\frac{n^3+1}{n-1}=(n^3+1)/(n-1)=(n^2+1/n)/(1-1/n).\\ [1em]& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(n^2+1/n)/(1-1/n)=(n^2+0)/(1-0)=(n^2/1)=n^2,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=+\mathrm{\infty }.\end{array}$

D.h., dass diese Folge uneigentlich konvergiert, sprich divergiert gegen $\pm \mathrm{\infty }$, hier gegen $+\mathrm{\infty }$.

• Schauen wir uns die ersten Folgenglieder an. Die erste Spalte gibt $n=\sqrt{A}$ an, die zweite den Wert von $\frac{n^3+1}{n-1}$ und die dritte $A=n^2$.

$\begin{array}{ccccccccccc}n=\sqrt{A}& \frac{n^3+1}{n-1}& A=n^2& & n=\sqrt{A}& \frac{n^3+1}{n-1}& A=n^2& & n=\sqrt{A}& \frac{n^3+1}{n-1}& A=n^2\\ 2& 9,0000& 4& & 3& 14,0000& 9& & 4& 21,6667& 16\\ 5& 31,5000& 25& & 6& 43,4000& 36& & 7& 57,3333& 49\\ 8& 73,2857& 64& & 9& 91,2500& 81& & 10& 111,2222& 100\\ 11& 133,2000& 121& & 12& 157,1818& 144& & 13& 183,1667& 169\\ 14& 211,1538& 196& & 15& 241,1429& 225& & 20& 421,1053& 400\\ 21& 463,1000& 441& & 30& 931,0690& 900& & 50& 2551,0408& 2500\\ 75& 5701,0270& 5625& & 100& 10101,0202& 10000& & 150& 22651,0134& 22500\\ 200& 40201,0101& 40000& & 300& 90301,0067& 90000& & 500& 250501,0040& 250000\end{array}$

• Wir stellen nun die Funktion $N(A)$ auf:

Sei $A>0$ beliebig. Wir suchen eine Funktion $N(A)\in \mathbb{N}$, sodass für alle $n>N(A)$ gilt:

$a_n=\frac{n^3+1}{n-1}>A$.

Für $n\ge 2$ gilt:

$a_n=\frac{n^3+1}{n-1}>\frac{n^3}{n}=n^2>A$.

• Beweis:

$\frac{n^3+1}{n-1}>\frac{n^3}{n}=n^2⟹(n^3+1)>n^2\cdot (n-1)=n^3-n^2⟹1>(-n^2).\surd$

Damit genügt bereits die Bedingung:

$n^2>A⟹n>\sqrt{A}$.

Für die Werte von $A$ haben wir die Auswahl von beliebigen Werten $A>0$. Wir setzen daher die untere Indexgrenze mit $n=2$ fest:

Wir definieren nun die Funktion $N(A)$:

$N(A)=max(2,\lfloor \sqrt{A}\rfloor )$.

Dann gilt für alle n > N(A), was auch in der Angabe gefordert wurde:

$n>N(A)⟹n>\sqrt{A}⟹n^2>A⟹a_n>A$.

$⟹$ Die Folge konvergiert uneigentlich gegen $+\mathrm{\infty }$ und die Funktion $N(A)$ erfüllt die Anforderungen. $◼$

Probe

Wir wollen nun eine Probe durchführen. Dafür wählen wir ein beliebiges $A>0,A\in ℝ$. Z.B. $A=16$.

In der oberen Tabelle suchen wir in der ersten Spalte den entsprechenden Wert für $n_1=max(2,\lfloor \sqrt{A}\rfloor )$, also jene Zeile mit dem Wert $\sqrt{16}=4$, der auch unserem $N(A)$ entspricht.

Da alle Folgenglieder ausgewählt werden, deren Index $i>N(A),i\in \mathbb{N}$ gilt, müssen wir die nachfolgende Zeile mit dem Wert $n_2=5$ heranziehen. In dieser Zeile stehen die Werte ${𝐧}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathrm{𝟓},\frac{n_2^3+1}{n_2-1}\mathbf{=}\mathrm{𝟑𝟏},\mathrm{𝟓},{𝐧}_{\mathrm{𝟐}}^{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathrm{𝟐𝟓}$.

Diese Zeile besagt, dass sich zu diesem $A=16$ ab dem Index $i>N(A)=4,i\in \mathbb{N}$, also ab dem Index $n_2=N(A)+1=n_1+1=5$, garantiert alle $a_i\ge \frac{n_2^3+1}{n_2-1}=31,5>n_2^2=25>A=16$ befinden.

• Anmerkung: Das ist vollkommen richtig:
  • Bei $n_1=3$ sind beide Grenzen mit $\frac{n_1^3+1}{n_1-1}=14,0$ und $n_1^2=9$ kleiner als $A=16$.
  • Bei $n_1=4$ ist die erste Grenze mit $\frac{n_1^3+1}{n_1-1}\approx 21,7$ richtig, aber die Abschätzung $n_1^2=16>A=16$ ist bereits falsch.

Daher müssen wir die Indizes $i>N(A)=4$ verwenden.

Links

Wikipedia:

• Folge
• Grenzwert
• Monotone Zahlenfolge

Ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 60