TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 129
Welche der Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität hat die folgende Relation R auf :
m R n
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Vorüberlegungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Zuerst mal eine kleine Skizze:
Hilfreich ist es auch, mal einen kleinen Teil der Lösungsmenge aufzuschreiben:
L = { ... (-2,-2), (-2,2), (2,-2), (-1,-1), (-1,1), (1,-1), (0,0), (1,1), (2,2) ... }
Reflexivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Reflexivität heißt, dass jedes Element in Relation zu sich selbst steht:
Ja, da m = n und {... (-2,-2), (-1,-1), (0,0), (1,1), (2,2) ...}.
Symmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Symmetrie heißt, wenn für alle a,b mit aRb auch bRa folgt.
Ja, trifft zu.
Antisymmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
R heisst anti-symmetrisch wenn aus aRb und bRa stets a=b folgt.
Nein, das trifft nicht zu.
Erklärung:
Es gibt auch unterschiedliche Werte bei denen die Relation gilt, zB und
Bei der Antisymetrie müssten es jedoch die selben sein.
Transitivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Relation R transitiv, wenn gilt: (a,b) aus R UND (b,c) aus R FOLGT (a,c) aus R
Untersuchen wir:
a b || b c || a c -1 -1 || -1 -1 || -1 -1 Erfüllt!!! 1 1 || 1 1 || 1 1 Erfüllt!!! 4 4 || 4 4 || 4 4 Erfüllt!!!
Somit liegt eine Transitivität vor! Und somit sind alle Bedingungen für eine Äquivalenzrelation erfüllt.
Danksagung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Dank an Ingo Rodax für den Hinweis auf einen Fehler! --Mnemetz 15:01, 15. Nov 2005 (CET)