TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 59

From VoWi
Jump to navigation Jump to search

Gegeben sei die rekursiv definierte Folge mit und

für .

Man berechne die Folgenglieder für , untersuche die Folge in Bezug auf Monotonie, Beschränktheit sowie Konvergenz und berechne - wenn möglich - den Grenzwert.

Hilfreiches[edit]

Grenzwert

Eine reelle Zahl heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge , falls in jeder -Umgebung von fast alle Folgenglieder liegen, d.h., falls

  (Definition 4.4)

Monotonie
Monotonie von Folgen und Reihen[edit]
  • heißt monoton
  • heißt streng monoton
Beschränktheit
Beschränktheit[edit]

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

  • heißt nach beschränkt
  • heißt beschränkt, wenn sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt.
Konvergenz von Folgen
Konvergenz einer Folge[edit]

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

  1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
  2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.
    In (aber z.B. nicht in !) gilt:

Lösungsvorschlag[edit]

Numerische Lösungen[edit]

n=0:

n=1:

n=2:

n=3:

n=4:

n=5:

n=6:

n=7:

n=8:

n=9:

n=10:

Monotonie[edit]

Da die Ungleichung erfüllt ist, ist die Folge monoton fallend.

Anmerkung: Prof. Karigl meinte, dass es streng monoton fallend ist, da nie den Wert annehmen kann (da ohne Wurzel gebildet wird). --pauly.

Grenzwert[edit]

Diese Überlegung gilt für jede positive Zahl c anstelle von 5 und stellt eine wichtige Möglichkeit zur Bestimmung einer Wurzel beliebiger Genauigkeit dar (mit beliebigem ).

Beschränktheit[edit]

Die obere Schranke ergibt sich trivial aus , die untere Schranke ist .

Lösungsvorschlag von Enrimilan[edit]

Berechnung der ersten 10 Folgenglieder[edit]

Ich habe mir einen Code in Java geschrieben der die ersten n-Glieder dieser Folge ausgibt. Laut diesem Code kommen folgende Werte raus:

Ab dem 6. Folgenglied ändert sich der Wert nicht mehr, also muss diese Folge gegen konvergieren. Das muss jetzt bewiesen werden.

Java-Code[edit]

Ich stelle noch den Java Code den ich geschrieben habe hier rein falls ihn jemand braucht:

public class Folge {
	public static void main(String args[]){
		int n=10;//n-tes Folgenglied
		int k=0;//Laufvariable
		double a0=1.0;//das 0-te Glied
		a(a0,k,n);//gibt die ersten 10 Folgenglieder aus.
	}
	public static void a(double an, int k, int n){
		if(k==0){
			System.out.println("a"+k+"= "+an);
		}
		if(k<n){
			k++;
			System.out.println("a"+k+"= "+((1.0/2.0)*(an+5.0/an)));
			a((1.0/2.0)*(an+5.0/an),k,n);	
		}
	}
}

Monotonie und Beschränktheit[edit]

Wenn wir Beweisen können dass die Folge monoton (in diesem Fall fallend) und beschränkt ist, dann existiert auch der Grenzwert und wir können ihn dann auch berechnen.

Monotonie[edit]

Wir behaupten dass die Folge monoton fallend ist, da die Glieder mit wachsendem n immer kleiner werden. Das beweisen wir jetzt anhand vollständiger Induktion:

Beweis mit vollständiger Induktion[edit]

Wir müssen beweisen dass diese Folge für n>=1 monoton fallend ist. Es gilt also

Induktionsanfang:

Induktionsvoraussetzung:

Wir führen zuerst folgende Umformungen durch:

Somit lautet unsere Induktionsvoraussetzung:

Induktionsschluss:

Wir machen noch einmal dieselben Umformungen:

Jetzt können wir aber als schreiben:

Somit lautet unser Induktionsschluss wie folgt: was jetzt zu beweisen ist:

Das entspricht aber was auch immer positiv oder gleich null ist, weil wir aus der Induktionsvoraussetzung wissen dass , dazu noch quadriert bleibt das sowieso immer positiv oder gleich null. Unsere Folge ist also monoton fallend.

Beschränkheit[edit]

Aus der Monotonie haben wir automatisch bewiesen dass das heißt ist eine untere Schranke, nämlich die größte untere Schranke(Infimum). Es ist nahe liegend, dass eine obere Schranke, nämlich die kleinste ist(Supremum). Das beweisen wir jetzt aber trotzdem wieder anhand vollständiger Induktion. Wir müssen also beweisen dass für n>=1:

Induktionsanfang:

Induktionsvoraussetzung:

Induktionsschluss:

Umformen:

Das muss jetzt bewiesen werden.

Aus der Induktionsvoraussetzung folgt dass: (wichtig:

, daraus ergibt sich dass eine Zahl <=9 - eine Zahl <=18 => <=-9, noch 4 dazu addiert, bleibt die zahl <=-5, was auch negativ ist. 3 ist also unsere obere Schranke.

Grenzwert[edit]

Da die Folge monoton und beschränkt ist, konvergiert sie auch. Es gilt:

Links[edit]