TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 59

Gegeben sei die rekursiv definierte Folge $(a_{n})$ mit $a_{0}=1$ und

$a_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(a_{n}+{\frac {5}{a_{n}}}\right)$ für $n=0,1,2,\dots$.

Man berechne die Folgenglieder $a_{n}$ für $n=0,\dots ,10$, untersuche die Folge in Bezug auf Monotonie, Beschränktheit sowie Konvergenz und berechne - wenn möglich - den Grenzwert.

Hilfreiches

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \epsilon >0\quad \exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$   (Definition 4.4)

Monotonie

Monotonie von Folgen und Reihen

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt monoton ${\begin{Bmatrix}{\text{wachsend}}\\{\text{fallend}}\end{Bmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{cases}x_{n+1}\geq x_{n}\\x_{n+1}\leq x_{n}\end{cases}}$

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt streng monoton ${\begin{Bmatrix}{\text{wachsend}}\\{\text{fallend}}\end{Bmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{cases}x_{n+1}>x_{n}\\x_{n+1}<x_{n}\end{cases}}$

Beschränktheit

Beschränktheit

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt nach ${\begin{Bmatrix}{\text{oben}}\\{\text{unten}}\end{Bmatrix}}$ beschränkt $\Longleftrightarrow \exists a\in \mathbb {R} \quad \forall n\in \mathbb {N} :{\begin{cases}x_{n}\leq a&{\text{obere Schranke}}\\x_{n}\geq a&{\text{untere Schranke}}\end{cases}}$

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt beschränkt, wenn sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt.

Konvergenz von Folgen

Konvergenz einer Folge

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

   In $\mathbb {R}$ (aber z.B. nicht in $\mathbb {Q}$!) gilt:

   • $a_{n}\nearrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{sup}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
   • $a_{n}\searrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{inf}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
3. $\lim x_{n}=x,\;\lim y_{n}=y\Longrightarrow {\begin{cases}\lim(x_{n}\pm y_{n})=x\pm y\\\lim(x_{n}\cdot y_{n})=x\cdot y\\\lim({\frac {x_{n}}{y_{n}}})={\frac {x}{y}}\qquad y_{n},y\neq 0\end{cases}}$

Lösungsvorschlag

Numerische Lösungen

n=0: $a_{0}=1$

n=1: $a_{1}={\frac {1}{2}}\left(a_{0}+{\frac {5}{a_{0}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {5}{1}}\right)=3$

n=2: $a_{2}={\frac {1}{2}}\left(a_{1}+{\frac {5}{a_{1}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(3+{\frac {5}{3}}\right)={\frac {7}{3}}\approx 2.333$

n=3: $a_{3}={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+{\frac {5}{a_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\frac {7}{3}}+{\frac {5}{\frac {7}{3}}}\right)={\frac {47}{21}}\approx 2.238$

n=4: $a_{4}={\frac {1}{2}}\left(a_{3}+{\frac {5}{a_{3}}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\frac {47}{21}}+{\frac {5}{\frac {47}{21}}}\right)={\frac {2207}{987}}\approx 2.236$

n=5: $a_{5}={\frac {1}{2}}\left(a_{4}+{\frac {5}{a_{4}}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\frac {2207}{987}}+{\frac {5}{\frac {2207}{987}}}\right)\approx 2.236$

n=6: $a_{6}={\frac {1}{2}}\left(a_{5}+{\frac {5}{a_{5}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(2.236+{\frac {5}{2.236}}\right)\approx 2.236$

n=7: $a_{7}={\frac {1}{2}}\left(a_{6}+{\frac {5}{a_{6}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(2.236+{\frac {5}{2.236}}\right)\approx 2.236$

n=8: $a_{8}={\frac {1}{2}}\left(a_{7}+{\frac {5}{a_{7}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(2.236+{\frac {5}{2.236}}\right)\approx 2.236$

n=9: $a_{9}={\frac {1}{2}}\left(a_{8}+{\frac {5}{a_{8}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(2.236+{\frac {5}{2.236}}\right)\approx 2.236$

n=10: $a_{10}={\frac {1}{2}}\left(a_{9}+{\frac {5}{a_{9}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(2.236+{\frac {5}{2.236}}\right)\approx 2.236$

Monotonie

Da die Ungleichung erfüllt ist, ist die Folge monoton fallend.

Anmerkung: Prof. Karigl meinte, dass es streng monoton fallend ist, da $a_{n}$ nie den Wert ${\sqrt {5}}$ annehmen kann (da $a_{n+1}$ ohne Wurzel gebildet wird). --pauly.

Grenzwert

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }a_{n}&=\lim _{n\to \infty }a_{n+1}\\\lim _{n\to \infty }a_{n}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2}}\left(a_{n}+{\frac {5}{a_{n}}}\right)\\2\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}&=\lim _{n\to \infty }a_{n}+{\frac {5}{a_{n}}}\\2\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}&=\lim _{n\to \infty }a_{n}+\lim _{n\to \infty }{\frac {5}{a_{n}}}\\\lim _{n\to \infty }a_{n}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {5}{a_{n}}}\\\lim _{n\to \infty }{a_{n}}^{2}&=\lim _{n\to \infty }5\\\lim _{n\to \infty }a_{n}&=\lim _{n\to \infty }{\sqrt {5}}\\\lim _{n\to \infty }a_{n}&={\sqrt {5}}\end{aligned}}$

Diese Überlegung gilt für jede positive Zahl c anstelle von 5 und stellt eine wichtige Möglichkeit zur Bestimmung einer Wurzel beliebiger Genauigkeit dar (mit beliebigem $a_{0}\geq 0$).

Beschränktheit

Die obere Schranke ergibt sich trivial aus $a_{1}=3$, die untere Schranke ist $\lim _{n\to \infty }a_{n}={\sqrt {5}}$.

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Berechnung der ersten 10 Folgenglieder

Ich habe mir einen Code in Java geschrieben der die ersten n-Glieder dieser Folge ausgibt. Laut diesem Code kommen folgende Werte raus:

$a_{0}=1.0$

$a_{1}=3.0$

$a_{2}=2.3333333333333335$

$a_{3}=2.238095238095238$

$a_{4}=2.2360688956433634$

$a_{5}=2.236067977499978$

$a_{6}=2.23606797749979$

$a_{7}=2.23606797749979$

$a_{8}=2.23606797749979$

$a_{9}=2.23606797749979$

$a_{10}=2.23606797749979$

Ab dem 6. Folgenglied ändert sich der Wert nicht mehr, also muss diese Folge gegen $2.23606797749979$ konvergieren. Das muss jetzt bewiesen werden.

Java-Code

Ich stelle noch den Java Code den ich geschrieben habe hier rein falls ihn jemand braucht:

public class Folge {
	public static void main(String args[]){
		int n=10;//n-tes Folgenglied
		int k=0;//Laufvariable
		double a0=1.0;//das 0-te Glied
		a(a0,k,n);//gibt die ersten 10 Folgenglieder aus.
	}
	public static void a(double an, int k, int n){
		if(k==0){
			System.out.println("a"+k+"= "+an);
		}
		if(k<n){
			k++;
			System.out.println("a"+k+"= "+((1.0/2.0)*(an+5.0/an)));
			a((1.0/2.0)*(an+5.0/an),k,n);	
		}
	}
}

Monotonie und Beschränktheit

Wenn wir Beweisen können dass die Folge monoton (in diesem Fall fallend) und beschränkt ist, dann existiert auch der Grenzwert und wir können ihn dann auch berechnen.

Monotonie

Wir behaupten dass die Folge monoton fallend ist, da die Glieder mit wachsendem n immer kleiner werden. Das beweisen wir jetzt anhand vollständiger Induktion:

Beweis mit vollständiger Induktion

Wir müssen beweisen dass diese Folge für n>=1 monoton fallend ist. Es gilt also $a_{n}\geq a_{n+1}$

Induktionsanfang: $n=1\rightarrow a_{1}\geq a_{2}\rightarrow 3\geq 2.3333333333333335$

Induktionsvoraussetzung: $a_{n}\geq a_{n+1}$

Wir führen zuerst folgende Umformungen durch:

$a_{n}\geq a_{n+1}$

$a_{n}\geq {\frac {1}{2}}(a_{n}+{\frac {5}{a_{n}}})$

$2a_{n}\geq a_{n}+{\frac {5}{a_{n}}}$

$2a_{n}\geq {\frac {(a_{n})^{2}+5}{a_{n}}}$

$2(a_{n})^{2}\geq (a_{n})^{2}+5$

$(a_{n})^{2}\geq 5$

Somit lautet unsere Induktionsvoraussetzung: $a_{n}\geq {\sqrt {5}}$

Induktionsschluss: $a_{n+1}\geq a_{n+2}$

Wir machen noch einmal dieselben Umformungen:

$a_{n+1}\geq a_{n+2}$

$a_{n+1}\geq {\frac {1}{2}}(a_{n+1}+{\frac {5}{a_{n+1}}})$

$2a_{n+1}\geq a_{n+1}+{\frac {5}{a_{n+1}}}$

$2a_{n+1}\geq {\frac {(a_{n+1})^{2}+5}{a_{n+1}}}$

$2(a_{n+1})^{2}\geq (a_{n+1})^{2}+5$

$(a_{n+1})^{2}\geq 5$

$a_{n+1}\geq {\sqrt {5}}$

Jetzt können wir aber $a_{n+1}$ als ${\frac {1}{2}}(a_{n}+{\frac {5}{a_{n}}})$ schreiben:

${\frac {1}{2}}(a_{n}+{\frac {5}{a_{n}}})\geq {\sqrt {5}}$

$a_{n}+{\frac {5}{a_{n}}}\geq 2{\sqrt {5}}$

${\frac {(a_{n})^{2}+5}{a_{n}}}\geq 2{\sqrt {5}}$

$(a_{n})^{2}+5\geq 2a_{n}{\sqrt {5}}$

Somit lautet unser Induktionsschluss wie folgt: $(a_{n})^{2}-2a_{n}{\sqrt {5}}+5\geq 0$ was jetzt zu beweisen ist:

Das entspricht aber $(a_{n}-{\sqrt {5}})^{2}$ was auch immer positiv oder gleich null ist, weil wir aus der Induktionsvoraussetzung wissen dass $a_{n}\geq {\sqrt {5}}$, dazu noch quadriert bleibt das sowieso immer positiv oder gleich null. Unsere Folge ist also monoton fallend.

Beschränkheit

Aus der Monotonie haben wir automatisch bewiesen dass $a_{n}\geq {\sqrt {5}}$ das heißt ${\sqrt {5}}$ ist eine untere Schranke, nämlich die größte untere Schranke(Infimum). Es ist nahe liegend, dass $a_{1}=3$ eine obere Schranke, nämlich die kleinste ist(Supremum). Das beweisen wir jetzt aber trotzdem wieder anhand vollständiger Induktion. Wir müssen also beweisen dass $a_{n}\leq 3$ für n>=1:

Induktionsanfang: $n=1\rightarrow a_{1}\leq 3\rightarrow 3\leq 3$

Induktionsvoraussetzung: $a_{n}\leq 3$

Induktionsschluss: $a_{n+1}\leq 3$

Umformen:

${\frac {1}{2}}(a_{n}+{\frac {5}{a_{n}}})\leq 3$

$a_{n}+{\frac {5}{a_{n}}}\leq 6$

${\frac {(a_{n})^{2}+5}{a_{n}}}\leq 6$

$(a_{n})^{2}+5\leq 6a_{n}$

$(a_{n})^{2}-6a_{n}+5\leq 0$ Das muss jetzt bewiesen werden.

Aus der Induktionsvoraussetzung folgt dass: (wichtig: $a_{n}\geq {\sqrt {5}})$

$(a_{n})^{2}\leq 9$ , $6a_{n}\leq 18$ daraus ergibt sich dass eine Zahl <=9 - eine Zahl <=18 => <=-9, noch 4 dazu addiert, bleibt die zahl <=-5, was auch negativ ist. 3 ist also unsere obere Schranke.

Grenzwert

Da die Folge monoton und beschränkt ist, konvergiert sie auch. Es gilt: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }a_{n+1}=a$

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2}}(a_{n}+{\frac {5}{a_{n}}})$

$\lim _{n\to \infty }a_{n}={\frac {1}{2}}\lim _{n\to \infty }(a_{n}+{\frac {5}{a_{n}}})$

$\lim _{n\to \infty }a_{n}={\frac {1}{2}}(\lim _{n\to \infty }a_{n}+\lim _{n\to \infty }{\frac {5}{a_{n}}})$

$\lim _{n\to \infty }a_{n}={\frac {1}{2}}(\lim _{n\to \infty }a_{n}+{\frac {5}{\lim _{n\to \infty }a_{n}}})$

$a={\frac {1}{2}}(a+{\frac {5}{a}})$

$2a=a+{\frac {5}{a}}$

$a={\frac {5}{a}}$

$a^{2}=5$

$a={\sqrt {5}}=2.23606797749979$

$\lim _{n\to \infty }a_{n+1}={\sqrt {5}}=2.23606797749979$

Links

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 327 (ähnliches Beispiel)