TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 532

Sei G die Menge aller regulären $n\times n$ Matrizen A über $ℝ$. Man zeige, dass $⟨G,\cdot ⟩$ eine Gruppe bildet.

• Entspricht genau dem Bsp. 536, nur mit einer eingeschränkten Gruppe über $\mathbb{Q}$, die für den Beweis irrelevant ist.
• Angabe von 536: Sei $G$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $A$ über $ℝ$ mit $det(A)\in \mathbb{Q}\setminus \{0\}$. Man zeige, dass $⟨G,\cdot ⟩$ eine Gruppe bildet.

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Hilfreiches

Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\to G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\mathrm{\forall }a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\mathrm{\exists }e\in G:\mathrm{\forall }a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• sowie besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a^{\prime }$: $\mathrm{\forall }a\in G:\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

Theoretische Grundlagen (Zusammenfassung von mnemetz)

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

1. Abgeschlossenheit: $G\times G=G$, für $a,b\in G\to a\circ b\in G$ (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das $\circ$ entspricht einer Funktion von $\circ :G\times G\to G$
2. Assoziativgesetz: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in G$.
3. Einheitselement: Es existiert ein $e\in G$, so dass für alle $a\in G$ gilt: $a\circ e=e\circ a=a$.
4. Inverses Element: Für jedes $a\in G$ gibt es ein inverses Element $a^{\prime }\in G$ (oder auch $a^{-1}$) so, dass gilt $a\circ a^{\prime }=a^{\prime }\circ a=e$. Wobei das e das Einheitselement ist.
5. Kommutativgesetz: $a\circ b=b\circ a$ für alle $a,b\in G$.

  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Reguläre Matrix

Eine $n\times n$ Matrix $A$ heißt invertierbar bzw. regulär, wenn es eine $n\times n$ Matrix $B$ gibt mit $A\cdot B=B\cdot A=E_n$. Dabei ist $E_n$ die Einheitsmatrix. Die Matrix $A$ ist genau dann regulär bzw. invertierbar, wenn für die Determinante der Matrix gilt$:det(A)\ne 0$.

Anders gesagt: Reguläre Matrizen sind invertierbare Matrizen - somit existiert das inverse Element. Das Gegenteil sind natürlich singuläre Matrizen - diese bilden nur ein Monoid!

Lösungsvorschlag von mnemetz

Abgeschlossenheit

$\mathrm{\forall }{A}_1,A_2\text{ ueber }ℝ:A_1\cdot A_2=A_3\to A_3\text{ ueber }ℝ$

Begründung der gegebenen Abgeschlossenheit: Bei der Multiplikation von Matrizen die über $ℝ$ stehen, werden nur die Operationen $+,\cdot$ ausgeführt, daher abgeschlossen.

Einfacher: Es ergibt sich wieder eine $n\times n$ Matrix!

Assoziativität

Seien gegeben: $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

Untersuche $A\cdot (B\cdot C)$

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot (\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right))=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$

Untersuche $(A\cdot B)\cdot C$

$(\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right))\cdot \left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$

Neutrales Element

$\mathrm{\exists }{E}_n\mathrm{\forall }{A}_n:E_n\cdot A_n=A_n\cdot E_n=A_n$

Neutrales Element in Gestalt der Einheitsmatrix gegeben.

Inverses Element

$\mathrm{\exists }{A}_n^{-1}\mathrm{\forall }{A}_n:A_n^{-1}\cdot A_n=A_n\cdot A_n^{-1}=E_n$

Inverses Element existiert. Man kann davon ausgehen, dass es für alle Matrizen in G jeweils eine inverse Matrix gibt, da in der Angabe G als die Menge aller regulären ... Matrizen festgelegt ist. Reguläre Matrix bedeutet per Definition, dass eine Matrix invertierbar ist.

Schlussfolgerung

Es liegt eine Gruppe vor!

Lösungsvorschlag von Har203

• Entspricht genau dem Bsp. 536, nur dort mit einer eingeschränkten Gruppe über $\mathbb{Q}$, die für den Beweis irrelevant ist.
• Angabe von 536: Sei $G$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $A$ über $ℝ$ mit $det(A)\in \mathbb{Q}\setminus \{0\}$. Man zeige, dass $⟨G,\cdot ⟩$ eine Gruppe bildet.

Reguläre Matrix

Eine $n\times n$ Matrix $A$ heißt regulär bzw. invertierbar, wenn eine $n\times n$ Matrix $B$ existiert mit $A\cdot B=B\cdot A=E_n$. Dabei ist $E_n$ die Einheitsmatrix. Die Matrix $A$ ist genau dann regulär bzw. invertierbar, wenn für die Determinante der Matrix $A$ gilt$:det(A)\ne 0$.

Anders gesagt: Reguläre Matrizen sind invertierbare Matrizen - somit existiert das inverse Element. Das Gegenteil sind natürlich singuläre Matrizen - diese bilden nur ein Monoid!

In der Angabe vom Bsp. 536 werden die Determinanten auf $det(A)\in \mathbb{Q}\setminus \{0\}$ eingeschränkt. Die $\mathrm{𝟎}$ für die Determinante wird ausgeschlossen, damit nur die regulären Matrizen überbleiben, also genau jene, die in diesem Beispiel vorgegeben werden.

Die Einschränkung auf die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ ist nur für die Auswahl einer speziellen Gruppe (mathematisch) interessant, hat auf den gesamten Beweis keinen Einfluss. Der Beweis würde auch mit komplexen Zahlen $ℂ$ genauso ablaufen.

Im anderen Beispiel muss man nur $\mathbb{Q}$ durch $ℝ$ ersetzen.

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Links

Wikipedia:

• Gruppe
• Vektorraum
• Matrix
• Matrizenmultiplikation
• Determinante
• Determinantenproduktsatz
• Inverse Matrix

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