TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 545
Bestimmen Sie mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper :
a)
b)
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
LGS-Äquivalenzumformungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Allgemein gilt:
Die Lösungsgesamtheit eines linearen Gleichungssystems ändert sich durch folgende Äquivalenzumformungen nicht:
- Vertauschen zweier Zeilen/Spalten,
- Multiplikation einer Zeile/Spalte mit einem Faktor ,
- Addition einer Zeile/Spalte (mit einem Faktor) zu einer anderen Zeile/Spalte.
a) Lösungsvorschlag von Hapi[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
1. Schritt: nach dem Gauss-schen Eliminationsvervahren die erste und 2. Zeile vertauschen und aufschreiben
1 1 -1 -1 | 1 3 1 -2 1 | 2 5 1 -3 3 | 1
2. Schritt: die erste Zeile 3× von der 2. Zeile und 5× von der 3. Zeile subtrahieren
1 1 -1 -1 | 1 0 -2 1 4 | -1 ( 2 - 3 ) 0 -4 2 8 | -4 ( 1 - 5 )
3. Schritt: vertauschen Spalte 2 und 3, damit in der 2. Zeile 1 an erster Stelle steht (x1, x3, x2, x4 !)
1 -1 1 -1 | 1 0 1 -2 4 | -1 0 2 -4 8 | -4
4. Schritt: Zeile 2 von Zeile 3 dann 2x abziehen
1 -1 1 -1 | 1 0 1 -2 4 | -1 0 0 0 0 | -2
Falls kein Rechenfehler unterlaufen ist, ist das Gleichungssystem nicht lösbar.
Die dritte Zeile ergibt nämlich 4x die Variablen mit 0 multipliziert können nur 0 ergeben, nicht aber -2.
Hapi
b) Lösungsvorschlag von m0mo[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
1. Schritt: Da wir uns in den Restklassen befinden können wir hier ein wenig kürzen!
3 1 -2 1 | 2 1 1 -1 -1 | 1 5 1 -3 3 | 1
-->
1 1 0 1 | 0 1 1 -1 -1 | 1 1 1 -1 1 | 1
2. Schritt: z2-z1 und z3-z1
1 1 0 1 | 0 0 0 -1 -2 | 1 0 0 -1 0 | 1
-->
1 1 0 1 | 0 0 0 -1 0 | 1 0 0 -1 0 | 1
3. Schritt: z3-z2
1 1 0 1 | 0 0 0 -1 0 | 1 0 0 0 0 | 0
4. Schritt: vertauschen der Spalten x2 und x3
1 0 1 1 | 0 0 -1 0 0 | 1 0 0 0 0 | 0
Falls kein Rechenfehler unterlaufen ist, ist das Gleichungssystem nicht lösbar.
Wie wir sehen ist zwar x3 berechenbar mit x3 = -1 jedoch x2 und x4 zum berrechnen von x1 sind nicht eindeutig!
x1 = -(x2+x4) x2 und x4 sind unbekannt!
Anmerkung von Ryus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Nur weil die Lösung nicht eindeutig ist, ist das Gleichungssystem deswegen noch lange nicht unlösbar. Wir haben nur eine Lösungsmenge aus mehreren Elementen.
Unsere Matrix schaut so aus:
1 0 1 1 | 0 0 1 0 0 | 1
Da wir auf der linken Seite die Einheitsmatrix haben, können wir das im Buch gezeigte Verfahren (Satz. 3.44) verwenden, um die allgemeine Lösung in Parameterdarstellung zu zeigen:
Der Vektor links ist einfach die rechte Seite des Gleichungssystems um zwei Nuller ergänzt. Die ersten zwei Zeilen der Matrix bestehen aus der negativen rechten Teilmatrix im 2x4-Block (-1 = 1 in Z2) und der 2x2-Einheitsmatrix darunter. Da wir die Spalten 2 und 3 vertauscht haben, müssen wir dies hier aber nun noch entsprechend rückgängig machen. Durch weitere Auflösung erhält man dann:
Da wir in Z2 sind uns es für die Variablen nur zwei Werte gibt, können wir sogar alle Ergebnisse ausrechnen:
Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Ähnliche Beispiele:
- TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 541
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