TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 131

Welche der Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität hat die folgende Relation R auf $\mathbb{Z}$:

m R n $\iff m^2=n^2$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Hilfreiches

Reflexivität

Reflexivität

$\mathrm{\forall }a\in M:aRa$

Symmetrie

Symmetrie

$\mathrm{\forall }a,b\in M:aRb\Rightarrow bRa$

Antisymmetrie

Antisymmetrie

$\mathrm{\forall }a,b\in M:aRb\wedge bRa⟹a=b$

Transitivität

Transitivität

$\mathrm{\forall }a,b,c\in M:a\circ b\wedge b\circ c\Rightarrow a\circ c$

Vorüberlegungen

Zuerst mal eine kleine Skizze:

Hilfreich ist es auch, mal einen kleinen Teil der Lösungsmenge aufzuschreiben:

L = { ... (-2,-2), (-2,2), (2,-2), (-1,-1), (-1,1), (1,-1), (0,0), (1,1), (2,2) ... }

Reflexivität

Reflexivität heißt, dass jedes Element in Relation zu sich selbst steht:

$\mathrm{\forall }\text{ a }\in \text{ A }:\text{ (a,a) }\in \text{ R }$

Ja, da m = n und $\text{L }\mathrm{\forall }\text{ ( m = n ) }=$ {... (-2,-2), (-1,-1), (0,0), (1,1), (2,2) ...}.

Symmetrie

Symmetrie heißt, wenn für alle a,b mit aRb auch bRa folgt.

$\mathrm{\forall }\text{ a,b }\in A^2:\text{ (a,b) }\in \text{ R }\Rightarrow \text{ (b,a) }\in \text{ R }$

Ja, trifft zu.

Antisymmetrie

R heisst anti-symmetrisch wenn aus aRb und bRa stets a=b folgt.

Nein, das trifft nicht zu.

Erklärung:

Es gibt auch unterschiedliche Werte bei denen die Relation gilt, zB $2^2=(-2{)}^2$ und $(-2{)}^2=2^2$

Bei der Antisymetrie müssten es jedoch die selben sein.

Transitivität

Eine Relation R transitiv, wenn gilt: (a,b) aus R UND (b,c) aus R FOLGT (a,c) aus R

$\mathrm{\forall }\text{ a,b }\in \text{ R }:\text{ (a,b) }\in \text{ R }\wedge \text{ (b,c) }\in \text{ R }\Rightarrow \text{ (a,c) }\in \text{ R }$

Untersuchen wir:

   a    b   ||   b   c   ||    a    c
  -1   -1   ||  -1  -1   ||   -1     -1    Erfüllt!!!
   1    1   ||   1   1   ||    1      1    Erfüllt!!!
   4    4   ||   4   4   ||    4      4    Erfüllt!!!

Somit liegt eine Transitivität vor! Und somit sind alle Bedingungen für eine Äquivalenzrelation erfüllt.

Danksagung

Dank an Ingo Rodax für den Hinweis auf einen Fehler! --Mnemetz 15:01, 15. Nov 2005 (CET)

Ressourcen

Andere Beispiele

• Beispiel 109
• Beispiel 125 (WS 2013)

Vorlesungen

• 8._VO_31.10.2005
• 9._VO_03.11.2005
• 10._VO_07.11.2005

Websites

• Google-Groups
  • reflexiv, symmetrisch, transitiv
  • Symmetrie/Antisymmetrie
• Wikipedia-Eintrag Äquivalenzrelation
• Wikipedia-Eintrag Relation (Mathematik)
• Wikipedia-Eintrag Transitivität (Mathematik)