TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 129

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Welche der Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität hat die folgende Relation R auf :

m R n
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{{Beispiel|1=
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oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}


Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reflexivität
Reflexivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.55 Definition]

Symmetrie
Symmetrie[Bearbeiten, Wikipedia, 1.55 Definition]

Antisymmetrie
Antisymmetrie[Bearbeiten, Wikipedia, 1.60 Definition]

Transitivität
Transitivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.55 Definition]

Vorüberlegungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zuerst mal eine kleine Skizze:

Hilfreich ist es auch, mal einen kleinen Teil der Lösungsmenge aufzuschreiben:

L = { ... (-2,-2), (-2,2), (2,-2), (-1,-1), (-1,1), (1,-1), (0,0), (1,1), (2,2) ... }

Reflexivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reflexivität heißt, dass jedes Element in Relation zu sich selbst steht:

Ja, da m = n und {... (-2,-2), (-1,-1), (0,0), (1,1), (2,2) ...}.

Symmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Symmetrie heißt, wenn für alle a,b mit aRb auch bRa folgt.

Ja, trifft zu.

Antisymmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

R heisst anti-symmetrisch wenn aus aRb und bRa stets a=b folgt.

Nein, das trifft nicht zu.

Erklärung:

Es gibt auch unterschiedliche Werte bei denen die Relation gilt, zB und

Bei der Antisymetrie müssten es jedoch die selben sein.

Transitivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Relation R transitiv, wenn gilt: (a,b) aus R UND (b,c) aus R FOLGT (a,c) aus R

Untersuchen wir:

   a    b   ||   b   c   ||    a    c
  -1   -1   ||  -1  -1   ||   -1     -1    Erfüllt!!!
   1    1   ||   1   1   ||    1      1    Erfüllt!!!
   4    4   ||   4   4   ||    4      4    Erfüllt!!!

Somit liegt eine Transitivität vor! Und somit sind alle Bedingungen für eine Äquivalenzrelation erfüllt.

Danksagung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dank an Ingo Rodax für den Hinweis auf einen Fehler! --Mnemetz 15:01, 15. Nov 2005 (CET)

Ressourcen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Andere Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vorlesungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Foren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Websites[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]