TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 534

Sei $G$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $A$ über $ℝ$ mit $det(A)>0$. Man zeige, dass $⟨G,\cdot ⟩$ eine Gruppe bildet.

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Hilfreiches von Har203

Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\to G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\mathrm{\forall }a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\mathrm{\exists }e\in G:\mathrm{\forall }a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• sowie besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a^{\prime }$: $\mathrm{\forall }a\in G:\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

Reguläre Matrix

Eine $n\times n$ Matrix $A$ heißt regulär bzw. invertierbar, wenn eine $n\times n$ Matrix $B$ existiert mit $A\cdot B=B\cdot A=E_n$. Dabei ist $E_n$ die Einheitsmatrix. Die Matrix $A$ ist genau dann regulär bzw. invertierbar, wenn für die Determinante der Matrix $A$ gilt$:det(A)\ne 0$.

Anders gesagt: Reguläre Matrizen sind invertierbare Matrizen - somit existiert das inverse Element. Das Gegenteil sind natürlich singuläre Matrizen - diese bilden nur ein Monoid!

Determinante der inversen Matrix

Für die inverse Matrix $A^{-1}$ einer quadratischen regulären Matrix $A$ gilt:

$det\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{det(A)}$.

Determinantenproduktsatz

Mit dem Determinantenproduktsatz gilt für die Determinante des Produkts zweier quadratischer Matrizen über einem kommutativen Ring:

$det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)=det(B)\cdot det(A)=det(B\cdot A)$

Lösungsvorschlag von Har203

Sei $G$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $A$ über $ℝ$ mit $det(A)>0$. Man zeige, dass $⟨G,\cdot ⟩$ eine Gruppe bildet.

Abgeschlossenheit

Die Menge $G$ ist nicht leer, da die Einheitsmatrix $E_n\in G$ ist. Die Multiplikation zweier $n\times n$-Matrizen über $ℝ$ bildet natürlich wieder eine $n\times n$-Matrix über $ℝ$.

Wir müssen noch für die Abgeschlossenheit zeigen, dass die Matrizenmultiplikation bezüglich der Eigenschaft $X,Y\in G$ mit $e=det(X)$ und $f=det(Y)$ mit $e,f>0⟹det(X\cdot Y)$ auch wieder $>0:$

• Für quadratische Matrizen $X$ und $Y$ gleicher Größe $n\times n$ gilt nach dem Determinantenmultiplikationssatz:

$g=det(X\cdot Y)=det(X)\cdot det(Y)=e\cdot f$.

Da $e$ und $f$ beide $>0⟹g=e\cdot f$ ebenfalls $>0⟹(X\cdot Y)\in G\surd$

Assoziativität

Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ, das heißt, für Matrizen $A\in R^{m\times n}$, $B\in R^{n\times p}$ und $C\in R^{p\times q}$ gilt:

$A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C.\surd$

Bei der Multiplikation mehrerer Matrizen ist es also unerheblich, in welcher Reihenfolge die Teilprodukte gebildet werden, solange die Gesamtreihung nicht verändert wird.

Neutrale Element

Die Einheitsmatrix $E_n$ ist eine $n\times n$-Matrix über $ℝ$ mit $det(E_n)=1>0$. D.h. es gilt $E_n\in G$ und

$\mathrm{\forall }X\in G:E_n\cdot X=X\cdot E_n=X.\surd$

Inverse Element

Die Inverse Matrix der quadratischen $n\times n$-Matrix $D$ existiert genau dann, wenn die Determinante $\ne 0$ ist. Diese Voraussetzung ist mit der Einschränkung $d=det(D)>0$ erfüllt. Daraus folgt, dass die Determinante der inversen Matrix $det(D^{-1})=\frac{1}{d}>0$ ist und somit auch $\in G$:

• Die inverse Matrix existiert, da $d=det(D)>0$ und somit $d\ne 0$ ist.

• Die Matrix $D^{-1}$ ist eine $n\times n$-Matrix aus $G$ über $ℝ$ mit $det(D^{-1})=\frac{1}{d}>0$. D.h. die inverse Matrix ist ebenfalls in der Menge $G$ enthalten.$\surd$

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Links

Wikipedia:

• Gruppe
• Vektorraum
• Matrix
• Determinante
• Determinantenproduktsatz
• Inverse Matrix

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